Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Relacjeifunkcje
9
Oczywiściezłożeniemożeokazaćsięzbiorempustym,wszczególnościwtedy,gdy
Y∩Z=∅.Nietrudnozauważyć,że
SoR/=∅wtedyitylkowtedy,gdyrng(R)∩dom(S)/=∅.
Innąważnąoperacjąnarelacjachjestodwracanie.Relacjęodwrotnądorelacji
R⊆X×Yzapisujemywzorem
R11={(gjx)∈Y×X:(xjg)∈R}.
Łatwozauważyć,że
dom(SoR)⊆dom(R)orazdom(R11)=rng(R).
Najprostszymiprzykładamirelacjisąrelacjeidentycznościowe.Dladowolnego
zbioruZ⊆XrelacjęidentycznościowąnazbiorzeZdefiniujemywzorem:
idZ={(xjx)∈X×X:x∈Z}.
Twierdzenie1.2.JeśliR⊆X×YorazZ⊆X,to
RoidZ=R↾Z.
Dowód.RoidZ={(xjg)∈X×Y:istniejetakiez∈Z,że(xjz)∈idZoraz
(zjg)∈R}={(xjg)∈X×Y:istniejetakiez∈Z,żex=zoraz(zjg)∈R}=
{(xjg)∈R:x∈Z}=R↾Z.
Donajważniejszychrodzajówrelacjinależąfunkcje.RelacjęR⊆X×Yna-
zywamyfunkcją,gdyspełnianastępującywarunek:
jeśli(xjg)∈Roraz(xjz)∈Rjtog=z.
Oczywiście∅jestfunkcją.Zauważmy,żewteoriizbiorówfunkcjęutożsamiasię
zjejwykresem.Wtymsensiefunkcjaokreślonawzbiorzeliczbrzeczywistych
iowartościachrzeczywistychtotakipodzbiórpłaszczyzny(czyliiloczynukarte-
zjańskiegoprostejrzeczywistejprzezsiebie),którykażdaprostapionowaprzecina
wconajwyżejjednympunkcie.Zdaniemówiące,żerelacjafjestfunkcjązapisu-
jemywskrócienastępująco:
Fnc(f).
Jeślif⊆X×Yjestfunkcją,tofakt,że(xjg)∈fzapisujemyskrótowowpostaci
g=f(x)
imówimy,żegjestwartościąfunkcjifwpunkcie(tzn.dlaelementu)x.Takie
oznaczeniemasens,bodlakażdegoxelementf(x)jestwyznaczonyjednoznacznie.
Zauważmy,żedwiefunkcje,fig,sąrównewtedyitylkowtedy,gdydom(f)=
dom(g)orazf(x)=g(x)dlakażdegox∈dom(f)=dom(g).Fakt,żefjest
funkcją,którejdziedzinadom(f)=X,aprzeciwdziedzinarng(f)⊆Y,zapisujemy
wpostaci
f:XąY.
