Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Zbiory
7
Mającparę{xjg},rozważmyjeszczejedenelementzirozpatrzmyzbiór{z}.
Wtedyelementamizbioru
{xjgjz}={xjg}∪{z}
sądokładnieelementyx,giz.Zbiórtakinazywamytrójką.Kontynuującpo-
wyższąprocedurę,możemyutworzyćzbiór{xjgjzjw},którynazywamyczwórką,
aktóregoelementamisądokładnieelementyx,g,ziwitd.
Mówimy,żezbiórAzawierasięwzbiorzeB,gdykażdyelementzbioruAjest
elementemzbioruB.JeśliAzawierasięwB,tomówimyteż,żeAjestpodzbiorem
zbioruB,aBjestnadzbioremzbioruA.Fakt,żeAzawierasięwzbiorzeB
zapisujemywsposóbnastępujący:
A⊆B.
Symbol„⊆”nazywamysymboleminkluzji.Zbiórpustyjestpodzbioremkażdego
zbioru.PonadtoA⊆AdladowolnegozbioruA,atakże
A=Bwtedyitylkowtedy,gdyA⊆BiB⊆A.
Oczywistymjesttakżefakt,że
jeśliA⊆BorazB⊆CjtoA⊆C.
JeśliA⊆BorazA/=Bjtomówimy,żeAjestwłaściwympodzbioremzbioruB,
cozapisujemyAgB.
JeśliA⊆X,tozbiórX\AnazywamydopełnieniemzbioruAdozbioruX.
Mówiącodopełnieniuzbioru,musimymiećzawszenauwadzepewienokreślony
zbiórzawierającydanyzbiór.Związekpomiędzydopełnieniemsumyiiloczynuro-
dzinyzbiorówailoczynemisumąrodzinyichdopełnieńprzedstawiająnastępujące
równości,znanepodnazwąprawDeMorgana:
X\UA=Π{X\A:A∈A}j
X\ΠA=U{X\A:A∈A}.
Odnotujmyponadto,żedlarodzinzbiorówAorazBzachodzinastępujące
uogólnioneprawodystrybutywności:
UA∩UB=U{A∩B:A∈AiB∈B}.
DlakażdegozbioruXzbiór(rodzinę)złożonyzewszystkichpodzbiorówzbioru
XnazywamyzbiorempotęgowymioznaczamysymbolemD(X).
Zauważmy,żejeślix∈Aig∈B,to{xjg}⊆A∪B,czyli{xjg}∈D(A∪B).
Ztychsamychpowodów{x}∈D(A∪B),azatem{{x}j{xjg}}⊆D(A∪B).Tak
więcostatecznieotrzymujemy
(xjg)={{x}j{xjg}}∈D(D(A∪B)).
Zbiórzłożonyzewszystkichparuporządkowanych(xjg),takichżex∈Aoraz
g∈B,czylizbiór
A×B={z∈D(D(A∪B)):istniejex∈Aorazg∈Bjtakieżez=(xjg)}j
