Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
BiorącdowolnyzbiórB∈A,otrzymujemyzbiór
{x∈B:x∈AdlakażdegoA∈A}.
1.Zbiory,relacje,funkcje
Powyższyzbiórskładasięwobectegozewszystkichelementów,którenależądo
każdegozbiorurodzinyA.ZbiórtennazywamyiloczynemrodzinyzbiorówA
ioznaczamysymbolemΠA.Mamyzatem
x∈ΠAwtedyitylkowtedy,gdyx∈AdlakażdegoA∈A.
Podobnie,jeśliAjestrodzinązbiorów,tozbiórzłożonyztychelementówx,że
x∈AdlapewnegoA∈AnazywamysumąrodzinyzbiorówAioznaczamy
symbolemUA.Mamyzatem
x∈UAwtedyitylkowtedy,gdyistniejetakizbiórA∈A,żex∈A.
Zauważmy,żeiloczynΠAdlaA/=∅możnaotrzymać,stosujączasadęwycinania,
gdytymczasemsumęUAokreślamypostulatywnie.
SumaA∪Bjestszczególnymprzypadkiemsumyrodzinyzbiorów.Jestto
intuicyjniejasnepodwarunkiem,iżzgodzimysięnato,żemającdwazbioryA
orazBmamyrównieżzbiór(rodzinę)złożonydokładnieztychdwóchelementów:
AiB.Ogólnie,dladowolnychxigzbiór,któregoelementamisąx,giżadneinne
elementy,nazywamyparą.Paręzłożonązxigoznaczamysymbolem
{xjg}.
Jeślix=g,topara{xjg}madokładniejedenelement,amianowiciex.Taką
paręoznaczamysymbolem{x}.Majączbiory{x}oraz{xjg},możemystworzyć
znichnowąparę{{x}j{xjg}},którąnazywamyparąuporządkowaną.Paręupo-
rządkowaną{{x}j{xjg}}oznaczamysymbolem(xjg).Takwięc
(xjg)={{x}j{xjg}}.
Twierdzenie1.1.Dladowolnychxjgjajbzachodzi:
(xjg)=(ajb)wtedyitylkowtedy,gdyx=aig=b.
Dowód.Jeślix=aorazg=b,tooczywiście(xjg)=(ajb).Wystarczywięc
wykazać,że
jeśli{{x}j{xjg}}={{a}j{ajb}}jtox=aorazg=b.
Zauważmynajpierw,żex=a,gdyżwprzeciwnymprzypadku{x}/={a},awów-
czas
{x}={ajb}j
bo{x}∈{{a}j{ajb}}.Taostatniarównośćjednakniejestmożliwawtedy,gdy
x/=a.Mamywięcx=a,azatemzachodzirówność
{{x}j{xjg}}={{x}j{xjb}}.
Jeśli{xjg}={x},tox=g,atakże{xjb}={x}.Oznaczato,żex=g=a=b.
Jeślizaś{xjg}={xjb},tog=blubg=x.Wtymdrugimprzypadkuznowu
otrzymujemya=x=g=b,cokończydowód.
