Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
1.Zbiory,relacje,funkcje
jeśliprzyjmiemy,żeΦ(x)oznaczax/
∈xiuznamy,żeA={x:x/
∈x}jestzbiorem,
tomożemyzapytać,czyzbiórAmawłasnośćΦ,czyteżnie.Zgodniezzasadami
logikiklasycznej,którąposługujemysięwmatematyce,dlakażdychdwóchzdań
poprawniezbudowanychwsensielogicznym,zktórychjednojestzaprzeczeniem
drugiego,dokładnejednopowinnobyćprawdziwe.JeślizbiórAmawłasnośćΦ,
czyliA/
∈A,tostądwynika,żeA∈A.Takbyćniemoże.WobectegoA∈A,ato
oznacza,żeA/
∈A,cojestrównieżrzecząniemożliwądoprzyjęcia.Zatemuznanie
obiektuAzazbiórprowadzidosytuacjiparadoksalnej.Paradoksten,zauważony
przezBertrandaRussellaokołoroku1900,spowodował,żeopisanysposóbtwo-
rzeniazbiorówpoddanorestrykcji.Polegaonanatym,żemającjużpewienzbiór
A,rozważamytylkoteelementyx,któremająwłasnośćΦijednocześnienależą
dozbioruA.Ogółtychxskładasięnazbiór,któryoznaczamy
{x∈A:Φ(x)}.
Niemapewności,żetymrazemniepojawisiępodobnasytuacja,jakwantynomii
Russella,jednakpraktykamatematycznawskazuje,żemożemytakieobiektyuznać
zazbiorypoprawniezdefiniowane.Powyższysposóbkonstruowaniazbiorówjest
nazywanywteoriimnogościzasadąwycinania:zbiór{x∈A:Φ(x)}jest„wycięty”
zapomocąformułyΦzezbioruA.
Musimyzdaćsobiesprawęztego,comamynamyśli,mówiącżezbioryAiBsą
takiesame,czyliżeA=B.Napierwszyrzutokatakakwestiawydajesiębyćnieco
dziwna.Majączbiór,powiedzmyA,myślimyonimjakoojedynymkonkretnym
indywiduum,któreniemożebyćrówneinnemuindywiduum,powiedzmyB,chyba
żenapiszemyA=A(zczymkażdybezwątpieniasięzgodzi).Naszedoświadczenie
matematycznewskazuje,żeksiążkimatematyczne(inietylkoone)pełnesąformuł
zawierającychznak„=”.Naprzykład,patrzącnanapis2+2=1+3,wiemy,żepo
obustronachznaku„=”stoitensamobiekttylkoinaczejopisany.Tosamodotyczy
zbiorów.Zbiórjestwyznaczonyjednoznacznieprzezswojeelementy.Takwięc
mówimy,żeA=B,gdyAiBmajątesameelementy,tj.A=B,jeślix∈Awtedy
itylkowtedy,gdyx∈B.Tawłasnośćzbiorów,zwanazasadąekstensjonalności,
wydajesiębardzoracjonalnaiłatwadozaakceptowania,ajednocześnieniezbędna.
Namocytejzasadymamynaprzykład,żezbiórAwszystkichliczbrzeczywistych
spełniającychrównaniex2−3x+2=0jestrównyzbiorowiBwszystkichliczb
całkowitychdodatnichmniejszychod3.
MającdanezbioryAiB,możemyznichutworzyćnowyzbiórskładającysię
ztychitylkotychelementów,którenależąjednocześniedozbioruAidozbioruB.
OtrzymanywtensposóbzbiórnazywamyprzecięciemzbiorówAiBioznaczamy
symbolemA∩B.Zatem
x∈A∩Bwtedyitylkowtedy,gdyx∈Aix∈B.
Przecięcienazywanebywatakżeczęściąwspólną,przekrojemlubiloczynemzbio-
rów.Zbiórzłożonyztychelementów,którenależądozbioruAoraznienależądo
zbioruBnazywamyróżnicązbiorówAiB.RóżnicęzbiorówAiBoznaczamy
