Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Zbiory,relacje,funkcje
Jeśliwięcf:XąY,tof⊆X×Y,czylif∈D(X×Y).Wobectegodlazbioru
D(X×Y)iformułyFnc(f)orazdom(f)=Xdefiniujemyzbiór
XY={f∈D(X×Y):Fnc(f)orazdom(f)=X}j
któryskładasięzewszystkichfunkcjif:XąY.
Funkcjaf:XąYjestfunkcjąróżnowartościową,gdywarunek
jeślix1/=x2jtof(x1)/=f(x2)
zachodzidladowolnychx1jx2∈X.Funkcjeróżnowartościowenazywamytakże
injekcjami.Transponującpowyższywarunek,możemypowiedzieć,żefjestfunk-
cjąróżnowartościową,jeślijestspełnionanastępującaimplikacja:
jeślif(x1)=f(x2)jtox1=x2
dladowolnychx1jx2∈X.Funkcjapustajestfunkcjąróżnowartościowązezbioru
pustegowdowolnyzbiór.Mówimy,żef:XąYjestfunkcjąnazbiórY,gdy
rng(f)=Y.Takiefunkcjenazywamytakżesurjekcjami.Zprzyjętychpowyżej
definicjiwynika,żejeślif:XąYjestsurjekcją,toY/=∅,chybażefjestfunkcją
pustąorazX=∅.Funkcjębędącąjednocześnieinjekcjąisurjekcjąnazywamy
bijekcją.
Odwracanie,składanieorazobcinaniefunkcjirozumianejesttaksamo,jak
odwracanie,składanieiobcinanierelacji.Należytujednakzaznaczyć,żerelacja
odwrotnadofunkcjiniezawszejestfunkcją.Symbolf11oznaczafunkcjęodwrotną
(jeślitylkoistnieje)dofunkcjif,fogzłożeniefunkcjifig,af↾Zobcięciefunkcji
fdozbioruZ.
Twierdzenie1.3.(1)Jeślif⊆X×YjestfunkcjąorazZ⊆X,toobcięcie
f↾Zjestfunkcją.
(2)Jeślifigsąfunkcjami,toichzłożeniegoftakżejestfunkcją.
(3)Jeślifunkcjaf⊆X×Yjestróżnowartościowa,torelacjaf11⊆Y×X
takżejestfunkcją(różnowartościową),przyczym
fof11=id
rng(f)orazf11of=id
dom(f).
Dowód.(1):Jeśli(zjg)j(zjg′)∈f↾Z,to(zjg)j(zjg′)∈f,skądwynika,że
g=g′.
(2):Załóżmy,że(xjz1)j(xjz2)∈gof.Wówczas,zgodniezdefinicjązłożenia,
istniejąg1jg2∈Y,takieże(xjg1)j(xjg2)∈foraz(g1jz1)j(g2jz2)∈g.Skoro
jednakfjestfunkcją,tog1=g2.Zatemz1=z2,bogtakżejestfunkcją.
(3):Załóżmy,żefjestfunkcjąróżnowartościową.Wówczasrelacjaf11jest
funkcją.Istotnie,jeśli(gjx1)j(gjx2)∈f11,to(x1jg)j(x2jg)∈f,awięcx1=x2
bofunkcjafjestróżnowartościowa.
Ponieważdom(fof11)=rng(f)orazfof11(g)=gdlag∈rng(f),więc
fof11=idrng(f).Podobniezrównościdom(f11of)=dom(f)orazztego,że
f11of(x)=xdlax∈dom(f)wynikarównośćf11of=iddom(f).
