Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Relacjeifunkcje
11
Skorofunkcjesąrelacjami,awięczbiorami,tomożnananichwykonywać
działaniamnogościowe.Przydodatkowychzałożeniachotrzymujemywwyniku
tychdziałańnowefunkcje.
Twierdzenie1.4.JeśliFjestzbioremfunkcjioraz
f↾[dom(f)∩dom(g)]=g↾[dom(f)∩dom(g)]
dladowolnychfjg∈F,toUFjestfunkcją.
Dowód.Załóżmy,że(xjg1)j(xjg2)∈UF.Istniejąfunkcjefjg∈F,takieże
(xjg1)∈foraz(xjg2)∈g.Skorox∈dom(f)∩dom(g),tonamocyzałożenia
g1=f(x)=g(x)=g2.Takwięcg1=g2,cokończydowód.
Operacjęsumowaniafunkcji,jeślitylkojejwykonaniejestmożliwe,nazywamy
teższtukowaniemfunkcji.
Dlakażdejfunkcjif:XąYdefiniujemyobrazzbioruA⊆Xpoprzezfunkcję
forazprzeciwobrazzbioruB⊆Ypoprzezfunkcjęfwnastępującysposób:
f[A]={f(x)∈rng(f):x∈A}j
f11[B]={x∈dom(f):f(x)∈B}.
Nietrudnozauważyć,żedladowolnychA⊆XorazB⊆Yzachodząwzory:
A⊆f11[f[A]]orazf[f11[B]]⊆B.
Powyższychinkluzjiniemożnazastąpićrównościami.Wynikatoznastępującego
prostegolematu:
Lemat1.5.DladowolnychzbiorówXiYorazdladowolnejfunkcjif:XąY
zachodząnastępującerównoważności:
(1)Funkcjafjestsurjekcjąwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegozbioruB⊆Y
zachodzirównośćf[f11[B]]=B.
(2)Funkcjafjestinjekcjąwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegozbioruA⊆X
zachodzirównośćA=f11[f[A]].
Dowód.(1):Załóżmy,żefjestsurjekcjąorazg∈B⊆Y.Wówczasistniejetaki
elementx∈Y,żef(x)=g.Skorof(x)∈B,tox∈f11[B],awkonsekwencjig=
f(x)∈f[f11[B]].Wobecdowolnościwyboruelementugotrzymujemyinkluzję
B⊆f[f11[B]].Mamyzatemżądanąrówność,boinkluzjaprzeciwnazawszejest
prawdziwa.
Jeślifunkcjafniejestsurjekcją,tozbiórB=Y\rng(f)jestniepusty,ajed-
nocześnief[f11[B]]=∅.WówczasrównośćB=f[f11[B]]niezachodzi.
(2):Załóżmy,żefjestinjekcjąorazx∈f11[f[A]].Wówczasf(x)∈f[A],
awięcistniejetakielementz∈A,żef(z)=f(x).Ponieważfjestinjekcją,więc
z=x,azatemx∈A.Stąd,żeelementx∈f11[f[A]]byłwybranydowolnie
otrzymujemyinkluzjęf11[f[A]]⊆A.Mamywięcrówność,boinkluzjaprzeciwna
jestprawdziwa.
