Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Podzielność
11
ność,więcmożemyzakładać,żewszystkieliczbysądodatnie.Rozpatrujemy
więcliczbynaturalnem+1,m+2,...,m+k;chcemypokazać,że
k!|(m+1)l(m+2)l...l(m+k).
Poeksperymentujmynajpierwnumerycznie4:
f[m,k]:=Product[i,{i,m+1,m+k}]
Tojestdefinicjailoczynu(m+1)l(m+2)l...l(m+k);zwracamyuwagęna
oznaczeniezmiennych,koniecznienależyużywaćdolnegopodkreślnika.
f[3,5]/5!wynik56
f[7,10]/10!wynik19448
Uzasadnieniewprzypadkuogólnympoleganazauważeniu,że
f(m,k)
k!
=(
m+k
m),
gdzie(
m+k
m)oznaczasymbolNewtona5.Wystarczyterazpowołaćsięnawła-
snośćtrójkątaPascala,któryskładasięzliczbnaturalnych(możnatoudo-
wodnić,korzystajączindukcjimatematycznej).
Zadanie1.1.5([ETL2],ćw.18,s.7)
Udowodnij,żedladowolnegon∈N\{1},liczba3n+1niejestpodzielna
przez2n.
Podobnie,jakwzadaniu1.1.1,kluczowąrolęodgrywapodzielnośćprzez8;
sprawdźmyto:
Table[Mod[3^n+1,8],{n,2,20}]
{2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,2}
Table[Mod[2^n,8],{n,2,20}]
{4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
Skoro8jestdzielnikiemliczby2ndlakażdegon>3,towystarczysprawdzić,
że8niejestdzielnikiemliczby3n+1.Widaćzpowyższychdanych,że
3n(mod8)={4dlannieparzystego,
2dlanparzystego.
Jesteśmypewni,żeczytelnikporadzisobiezuzasadnieniemwłasnościzpo-
przedniejstrony(możnazerknąćdorozwiązaniazadania1.1.1).
4WjęzykuMathematicafunkcjaf[m,k]jestściślezwiązanazfunkcjąPochhammera
(Pochhammer[1+m,k]).
5Binomial[m,k](Mathematica)oznaczasymbolNewtona(
m
k).
