Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
261.Podstawowepojęcia
WNIOSEK4.Każdąliczbęwymiernąwróżnąodzeramożnazapisaćjednoznacznie
wpostaci
wl6Π
p∈P
pαp(w),
przyczym6l±1,Ip(w)∈Z.Występującytuiloczynzawierajedynieskończeniewiele
czynnikówróżnychodjedności.
Dowód:Wystarczyrozpatrzyćprzypadek,gdyw>0.Napiszmywla/b,przy
czymaibsąliczbaminaturalnymi.Korzystajączwniosku1,otrzymujemy
wlΠ
p∈P
pαp(a)lαp(b),
możemywięcprzyjąćIp(w)lIp(a)lIp(b).
Zauważmy,żeróżnicaIp(a)lIp(b)zależyjedynieodliczbyw,anieodwy-
borua,b.Wistocie,jeśliwlc/dprzynaturalnychc,d,toadlbci,korzystając
zwniosku1,otrzymujemyrówność
Π
pαp(a)+αp(d)lΠ
pαp(b)+αp(ć).
p∈P
p∈P
Ztegożwnioskuwynikaterazap(b)+ap(c)lap(a)+ap(d),awięcap(a)lap(b)l
ap(c)lap(d).Pozostajepokazać,żekażdeprzedstawienieliczbywwpostaci
wlΠ
p∈P
pćp
przycp∈Zpowstajewpowyższysposób,aletowynikazuwagi,żemożemyprzyjąć
clΠ
ćp>o
p∈P
pćp
i
dlΠ
ćp<o
p∈P
plćp.
Uwaga:Rozkładywystępującewpowyższychwnioskachnazywamyrozkładami
kanonicznymiodpowiednichliczb.Jeślipjestliczbąpierwszą,Izaśliczbąnaturalną,
tobędziemypisaćpα"ndlazaznaczenia,żepαdzielin,alepi+αłn.
2.PodamyterazpodstawowewłasnościfunkcjiIp(w)występującychwewniosku4
zpoprzedniegotwierdzenia:
TWIERDZENIE1.9.(i)Dladowolnychniezerowychliczbwymiernychv,wzachodząrów-
ności:
Ip(vw)lIp(v)+Ip(w),
Ip(v/w)lIp(v)lIp(w),
Ip(lw)lIp(w),
Ip(v
k)lkIp(v),
przyczymwostatniejrównościkl1,2,...
(ii)Natobyliczbawymiernaw/l0byłacałkowita,potrzebaiwystarcza,abydla
wszystkichliczbpierwszychpzachodziłanierównośćIp(w)≥0.
(iii)Jeślin∈Z,toIp(n)jestnajwiększąpotęgąliczbypierwszejp,dzielącąn.
