Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
201.Podstawowepojęcia
WNIOSEK.
x→∞Π
lim
p∈P
p≤x
(1l
p)l0.
1
Innedowodytwierdzenia1.5możnaznaleźćwnastępującychpracach:Bellman[1],
Erd˝
os[2],Moser[1],Vandeneynden[1],Sylvester[1].
6.Jeśliai,a2,...,aksąliczbamicałkowitymi,zktórychprzynajmniejjednajest
różnaodzera,tonajwiększąliczbęcałkowitądzielącąjewszystkienazywamynaj-
większymwspólnymdzielnikiem(NWD)liczbai,a2,...,ak.Tradycyjnieliczbętęozna-
czamyprzez(ai,a2,...,ak).Takwięcrównośćdl(ai,a2,...,ak)oznacza,żedla
il1,2,...,kzachodzid|ai,ajeśliliczbacałkowitaDdzieliwszystkieliczbyai,to
D≤d.Stądwynikanatychmiast,że(ai,a2,...,ak)jestliczbąnaturalną.Wprzypadku
gdy(ai,a2,...,ak)l1,tj.liczbyainiemająwspólnegodzielnika,większegood1,
mówimy,żeliczbytesąwzględniepierwsze.Podobnie,jeślidlai/ljmamy(ai,aj)l1,
tomówimy,żeliczbyai,a2,...,aksąparamiwzględniepierwsze.
Jeśliliczbyai,a2,...,aksąwszystkieróżneodzera,tonajmniejsząliczbęna-
turalną,dzielącąsięprzezniewszystkienazywamynajmniejsząwspólnąwielokrotno-
ścią(NWW)liczbai,a2,...,akioznaczamyprzez[ai,a2,...,ak].Zatemrówność
Ml[ai,a2,...,ak]zachodziwtedyitylkowtedy,gdydlail1,2,...,kmamy
ai|M,ajeśliliczbanaturalnamdzielisięprzezkażdązliczbai,tom≥M.
Zauważmy,żejeśli(ai,a2,...,ak)ldinapiszemyaildbi(il1,2,...,k),to
będziemymieli(bi,b2,...,bk)l1.Wistocie,wprzeciwnymrazieistniałbywspólny
dzielnikD>1wszystkichliczbbi,awówczasiloczyndD>dbyłbywspólnym
dzielnikiemliczbai.Zuwagitejbędziemyczęstokorzystali.
TWIERDZENIE1.6.Jeśliai,a2,...,aksąliczbamicałkowitymi,zktórychprzynajmniej
jednajestróżnaodzera,toistniejątakieliczbycałkowitexi,x2,...,xk,że
Σ
ili
k
aixil(ai,a2,...,ak),
(1.4)
aprzytym(ai,a2,...,ak)jestnajmniejsząliczbąnaturalną,dającąsięprzedstawić
wpostaci(1.4).
Dowód:Niechdl(ai,a2,...,ak),aIniechbędziezbioremwszystkichliczbcał-
kowitychdającychsięprzedstawićwpostaci(1.4).Widzimybeztrudu,żejeślia,b∈I,
toa±b∈I,ajeślia∈I,anjestdowolnąliczbącałkowitą,tona∈I.(Używającjęzyka
algebry,możemyzatempowiedzieć,żeIjestideałemwpierścieniuliczbcałkowitych).
OznaczmyprzezDnajmniejsząliczbęnaturalną,zawartąwI.Ztwierdzenia1.2
wynika,żemożemyznaleźćliczbycałkowiteqi,rispełniającerówności
ailqiD+ri,
0≤ri<D(il1,2,...,k),
azpoprzedniejuwagiwnosimy,żeri,r2,...,rkleżąwI.WobecwyboruDjestto
możliwejedyniewówczas,gdyrilr2l...lrkl0,azatemDdzieliwszystkie
