Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Wstęp
miformalnierzeczywistymi.Przedmiotemrozważańsątuwaluacjezgodne
zporządkiem,tj.takie,któresąodwzorowaniaminierosnącymiwgrupę
wartościtejwaluacji.Częśćrozdziałusiódmegopoświęconajestpierście-
niomwaluacyjnym,którychciałaresztsąpodciałamiciałaR.Kanoniczne
odwzorowaniawciałaresztwyznaczoneprzeztepierścieniewaluacyjne,
nazywanepunktamirzeczywistymi,tworząprzestrzeńilorazowąprzestrzeni
topologicznejwszystkichporządkówciała.
Punktyrzeczywistebędąodgrywaływażnąrolęwrozdzialeósmym,
wktórymzajmiemysiępodaniemrozwiązania17.problemuHilberta
iprzedstawimyuogólnieniategoproblemu,polegającegonatym,żezamiast
wielomianównieujemnieokreślonychnacałejdziedzinie,rozważaćbędzie-
mywielomianynieujemnieokreślonenapewnychpodzbiorachdziedzinyich
określoności.Wrozdzialetymprzedstawimyteżniecosłabsząwersjętwier-
dzeniaHilbertadotyczącegonieujemnieokreślonychformternarnychstop-
nia4.Oryginalnetwierdzeniemówi,żekażdatakaformajestsumąkwa-
dratówtrzechformkwadratowychijegodowódjeststosunkowotrudny.
PokażemyjedyniewmiaręelementarnydowódpochodzącyodAlbrechta
Pfisterafaktu,żetakaformajestsumąconajwyżejczterechkwadratów
formkwadratowych.
WcieleRzbiórelementówniezerowychdzielisięnate,któresąkwa-
dratamiite,któresąminuskwadratami.Ciałoformalnierzeczywisteota-
kiejwłasnościnazywanejestciałemeuklidesowym.Fakt,żedladowolnych
ajb∈Rrównaniea2+b2=x2marozwiązaniewoczywistysposóbkojarzy
sięztwierdzeniemPitagorasa,stądciało,którematakąwłasnośćnazywa-
nejestciałempitagorejskim.Rozdziałdziewiątypoświęconyjestopisowi
pewnychszczególnychklasciałformalnierzeczywistych,wtymrównieżciał
euklidesowychipitagorejskich.
Twierdzeniespektralnedlaendomorfizmówsamosprzężonych,pewnewła-
snościprzestrzenieuklidesowych,twierdzenieRolle’aniezmiennieprzywołu-
jąnamyślrozważanianadciałemRjchociażichsformułowaniejestmożliwe
naddowolnymciałemuporządkowanym,ztymjednak,żetakieuogólnienia
niezawszesąprawdziwe.Wostatnimrozdzialezajmujemysięcharakteryza-
cjątychciał,dlaktórychtwierdzeniespektralneczyteżtwierdzenieRolle’a
sąspełnione.TuCzytelnikznajdzieteżcharakteryzacjętakichciał,które
wgeometriiafinicznejdopuszczająaksjomatPascha.
Porządekciałajestrównocześnieporządkiemgrupyaddytywnejtegocia-
ła.Celowezatemwwielumiejscachjestwykorzystywaniegotowychfaktów
zteoriigrupuporządkowanych.DlawygodyCzytelnikazamieściliśmydo-
datekD.1,wktórymzawartezostałypotrzebnefaktydotycząceabelowych
grupuporządkowanych.WcałympodręcznikuciałoRwielokrotniewystę-
