Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Wstęp
nemSchreierem,zawierającejpodstawyteoriiciałuporządkowanych.Oteo-
riiprzeznichstworzonejNicolasBourbakiwksiążcezatytułowanej´
El´
ements
d’histoiredesmath´
ematiquesnapisał,że„jednymznajdonioślejszychjejre-
zultatówjestniewątpliwieodkrycie,żeistnienierelacjiporządkującejnad
ciałemzwiązanejestzwłasnościamiczystoalgebraicznymitegociała”.Fun-
damentalnedlatejteoriijesttwierdzenie,któremówi,żeciałomożnaupo-
rządkowaćwtedyitylkowtedy,gdyjestformalnierzeczywiste,cooznacza,
żezeroniejestsumąkwadratówniezerowychelementówtegociała.Opie-
rającsienadoświadczeniuwyniesionymzobcowaniazciałemuporząd-
kowanymR,trudnosiędomyślić,jakieciekawewłasnościmogąpojawićsię
wprzypadkudowolnychciałuporządkowanych.CiałoRjestuporządkowane
tylkonajedenitociągłysposób,jestrozszerzeniemarchimedesowymciała
liczbwymiernych,którejestwnimgęste.Jesttoraczejwyjątkowyprzypa-
dek.Ogólnie,ciałomożebyćuporządkowanenawiele,nawetnieprzeliczalnie
wielesposobów,podczasgdysamojestprzeliczalne.Możerównieżzawierać
elementywiększeodwszystkichliczbwymiernychczyteżodcinkirozłączne
zpodciałemliczbwymiernych.DrugieważnetwierdzenieArtinaiSchreiera
mówi,żeelementciałajestdodatniwkażdymporządkutegociaławtedy
itylkowtedy,gdyjestsumąkwadratówelementówtegociała.Twierdzenie
tostanowiwłaśniejedenzważnychargumentówwrozwiązaniu17.proble-
muHilberta.
TeoriastworzonaprzezArtinaiSchreierastałasiękatalizatoremrozwoju
wieludziałówmatematyki.Wystarczywspomnieć,żezgeometriialgebra-
icznejwyodrębniłasięrzeczywistageometriaalgebraiczna,ateoriaform
kwadratowychnaddowolnymiciałamizyskałanowenarzędziadobadania
zachowaniasiętychform.Pewneciałauporządkowane,tzw.ciałarzeczywi-
ściedomknięte,pojawiłysięrównieżwteoriimodeliwkontekściezasady
Tarskiego,któramówi,żeciałarzeczywiściedomkniętesąelementarnierów-
noważnezciałemliczbrzeczywistych.
Podręcznikskładasięzdziesięciurozdziałówuzupełnionychdwomado-
datkami.Rozpoczynamy,oczywiście,odpodstawowychpojęćiprzykładów
orazdowodówdwóchwspomnianychwcześniejtwierdzeńArtinaiSchreiera,
zawartychwrozdzialepierwszym,wktórymCzytelnikznajdzietakżem.in.
dyskusjęzachowaniasięporządkówciałprzyrozszerzeniachciał.
Wspomnieliśmyjużowpływieteoriiciałuporządkowanychnateorię
formkwadratowychnadtymiciałami.Rozdziałdrugiprzypominapodsta-
wowefaktydotycząceteoriiformkwadratowychikończysięomówieniem
tejczęściteorii,któradotyczyformkwadratowychnadciałamiformalnie
rzeczywistymi.
