Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Rozkładyformkwadratowych
Stąd
δ=u!Bu.
37
Uwaga1.1.JeżeliX∼Np(p,Σ),toCov(X)=E[(X−p)(X−p)!]=
=E(XX
!)−pp!.Stąd
E(XX
!)=Σ+pp!.
WnaszymprzypadkuY∼Np(u,Ip).StądE(YY
!)=Ip+uu!.
Dowódwarunkudostatecznego.Załóżmy,żeY!BY∼χ2
k(δ).Jeżeli
rząd(B)=m(powiedzmy),toistniejeortogonalnamacierzHstopniap
taka,że
H!BH=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
A1
0
...
Am
0
...
0
⎥
⎥
⎦
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
,
gdzieA1,...,AmsąniezerowymiwartościamiwłasnymimacierzyB.Niech
Z=H
!Y.Wówczas
m
Y!BY=[(H!)11Z]!B(H!)11Z=Z!H!BHZ=
Σ
AiZ
i.
2
i=1
Mamy
E(Z)=H
!E(Y)=H!u=u,
Var(Z)=H
!Var(Y)H=H!IpH=Ip.
StądZ∼Np(u,Ip),gdzieu=H
!u.ZatemZ2
i∼χ2
1(u2
j).Funkcjacharak-
terystycznazmiennejZ2
ijestrówna
OZ2
i
(t)=(1−2it)1
2exp(
1
1−2it).
itu2
j
PonieważZ1,...,Zmsązmiennymilosowyminiezależnymi,więcfunkcja
charakterystycznaΣ
m
i=1AiZ2
ijestrówna
(1.18)
Om
i=1
Σ
λiZ2
i
(t)=
Π
m
OZ2
i
(Ait)=
Π
m
[(1−2iAit)11
2exp(
1−2itAi)]=
itAiu2
i
i=1
i=1
=
Π
m
(1−2iAit)
11
2exp(it
Σ
m
1−2itAi).
Aiu2
i
i=1
i=1
