Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Rozkładyformkwadratowych
Korzystającztejdefinicji,mamy
p=max
λ
(Var(X1)Var(A
Cov(X1,A
!X
!X
2)
2))
1
2
=max
λ
(σ11A
A
!σ
!Σ
12
22A)
1
2
.
(1.16)
Zauważmyteraz,że
35
(σ11A
!Σ
22A)
1
2
=
A!Σ
(σ11A
22Σ
1
2
!Σ
11
22σ12
22A)
2
1
2
=
A!σ
12
u!u
=
(σ11A
!Σ
22A)
1
2
<(gdzieu=Σ
22A,u=Σ
1
2
11
22σ12)
2
<
(σ11A
(u!u)
1
!Σ
2(u!u)
22A)
1
2
1
2
=(znierównościCauchy’ego-Schwarza)
=
(A
!Σ
22A)
(σ11A
1
2(σ!
!Σ
12Σ11
22A)
22σ12)
1
2
1
2
=
=(
σ!
12Σ11
σ11
22σ12
)
1
2
,
przyczymrównośćzachodziwówczas,gdyA=Σ
11
22σ12.Stąd
(1.17)
p=(
σ!
12Σ11
σ11
22σ12
)
1
2
.
Zauważmy,że0<p<1,wodróżnieniuodwspółczynnikakorelacjiPear-
sona,orazżewielokrotnywspółczynnikkorelacjipjestwistocierówny
współczynnikowikorelacjimiędzyX1ifunkcjąregresjiE(X1|X2=x2)
danąwzorem(1.15).Kwadratwielokrotnegowspółczynnikakorelacjinosi
nazwęwspółczynnikadeterminacji.Współczynnikdeterminacjip2jestnaj-
częściejwyrażanywprocentach.
1.5.Rozkładyformkwadratowych
Twierdzenie1.22.
JeżeliX∼Np(p,Σ),gdzieΣ>0,orazA
jestmacierząsymetrycznąstopniap,toX!AX∼χ2
k(δ),gdziek=
=rząd(A),δ=p!Ap,wtedyitylkowtedy,gdyAΣjestmacierząidem-
potentną(AΣ·AΣ=AΣ,tj.AΣA=A).
