Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Zbioryliczbowe
Naprzykład
1
2
=0,5,
1
3
=0,333...,
10
99
=0,101010...,
1
7
=0,142857142857...
Twierdzenie2.2.Liczbarzeczywistajestniewymiernawtedyitylko
wtedy,gdyjejrozwinięciedziesiętnejestułamkiemnieskończonyminie-
okresowym.
Przykłademliczbniewymiernychsąliczby:
π=3,141592653589793...,
0,101001000100001...
Ustalimyterazsymbolikędotyczącąprzedziałówliczbowych.
Symbolem[a,b]oznaczamyprzedziałdomkniętyokońcachaib
(a<b),natomiastprzez(a,b)oznaczamyprzedziałotwartyokońcach
aib(a<b).
Ponadto,[a,b)oznaczaprzedziałlewostronniedomkniętyiprawostron-
nieotwarty,natomiast(a,b]oznaczaprzedziałlewostronnieotwartyipra-
wostronniedomkniętyokońcachaib(a<b).
Używamyrównieżprzedziałównieograniczonychpostaci:
(a,+∞)={x∈R:x>a},
[a,+∞)={x∈R:x>a},
(−∞,a)={x∈R:x<a},
(−∞,a]={x∈R:x<a},
(−∞,+∞)=R.
SymbolemR+oznaczamyzbiórliczbrzeczywistychnieujemnych,
asymbolemR-oznaczamyzbiórliczbrzeczywistychniedodatnich;mamy
zatem
R+=[0,+∞),
R-=(−∞,0].
Nazakończenietegorozdziałupodamyjeszczetwierdzeniezawierające
dośćgłębokąwłasnośćzbioruliczbrzeczywistych.
Twierdzenie2.3.Wkażdymprzedzialeotwartym(a,b)znajdujesię
nieskończeniewieleliczbwymiernychinieskończeniewieleliczbniewy-
miernych.
Oczywiście,podobnąwłasnośćmakażdyprzedziałdomknięty[a,b]oróż-
nychkońcach(a/=b).
27
