Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
AndrzejJakubowski
jącegozałożenia,żestrukturaterminowastópprocentowychwyrażonakrzywą
dochodowościobligacjiczysto-dyskontowychjest„płaska”,przyczymza-
chodzitodladowolnejchwilibieżącej
τ
=
1
,
2
,
3
,...
.Zpowyższegowynika
bezpośrednio,żejeżelichodziozmianyrynkowejstopyprocentowejr(wtym
przypadkujużtylkojednej),tomożliwesąjedynierównoległeprzesunięcia
wgóręlubwdółrozpatrywanejkrzywejdochodowościowartość
dr
.
NatomiastwprezentowanymponiżejskrótowopodejściuFishera-Weila[10]
założono,żekrzywadochodowościmożemiećdowolnykształt.Jednak
ograniczającym(itowznacznymstopniu)założeniemjestprzyjęcie,żewdal-
szymciągumożliwesąwyłącznierównoległeprzesunięciatejkrzywej,tj.
r
1
≠
...
≠
r
t
≠
≠
r
T
oraz
dr
t=
dr
,
∀
t
=
1
,
K
,
T
.
...
Wdalszejczęścipracyzałożymy,żedlaanalizowanegorynku
obowiązujeciągłakapitalizacjaodsetek.Wzór(2)określającywartośćbieżącą
obligacjiprzybierawówczaspostać
T
P
=
P
(
r
)
=
P
(
r
1
,
K
,
r
t
,
K
,
r
T
)
=
∑
C
t
exp
(
−
r
t
t
)
,
t
=
1
(3)
gdzie
C
t=
C
dla
t
=
1
,
K
,
T
−
1
oraz
C
T
=
C
+
N
.
Dokonującoszacowaniazmiany
Δ
P
funkcji(3)zapomocądwóch
pierwszychczłonówszereguTaylora,mamy
Δ
P
=
P
(
r
+
d
r
)
−
P
(
r
)
≈
∑
t
=
T
1
∂
∂
P
r
t
dr
t
+
1
2
∑
t
T
=
1
∂
∂
2
r
t
P
2
(
dr
t
)
2
=
−
∑
t
T
=
1
(
t
C
t
e
−
r
t
t
)
dr
t
+
1
2
∑
t
T
=
1
(
t
2
C
t
e
−
r
t
t
)
(
dr
t
)
2
.
Należypodkreślić,że–zewzględunawypukłośćfunkcji
P
(r
)
−przy-
bliżeniezmiany
Δ
P
=
P
(
r
+
d
r
)
−
P
(
r
)
tejfunkcjizapomocądwóchpierw-
szychczłonówrozwinięciaTaylorajestwpraktycewystarczającodokładne.
Takwięcbłądtegoprzybliżenia,determinowanyresztąLagrange'a,jest
znikomy[7].DzielącobiestronypowyższegowzoruprzezPorazuwz-
ględniajączałożenie,że
dr
t=
dr
(
t
=
1
,
K
,
T
),
otrzymamy
Δ
P
P
≈
−
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
t
T
=
1
t
C
t
e
−
r
t
t
/
P
⎞
⎟
⎟
⎠
dr
+
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
t
T
=
1
t
2
C
t
e
−
r
t
t
/
P
⎞
⎟
⎟
⎠
(
dr
)
2
.
(4)
