Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Związkimiędzymonotonicznością,ograniczonościąizbieżnością
sformułowanesąwponiższychtwierdzeniach.
Twierdzenie2010
Jeżeliciąg
()
a
nnN
∈
+
jestzbieżnydogranicyg,tojestograniczony.
Twierdzenieodwrotne,mówiące,żejeśliciągjestograniczony,tojest
zbieżny,jestnieprawdziwe.Naprzykładciągzprzykładu2.6,owyrazieogól-
nyma
n=(-1)
n,n∈N+,jestograniczony,alenieposiadagranicy.Dołącze-
niedodatkowegozałożeniapozwalasformułowaćtwierdzenieokreślające
zbieżnośćciągu.
Twierdzenie2020
Jeżeliciąg
()
a
nnN
∈
+
jestograniczonyimonotoniczny,tojestzbieżny.
Obliczaniegranicciągówułatwiająwłasnościokreślonewponiższym
twierdzeniu.
Twierdzenie2030
Jeżeliciągi
()
a
nnN
∈
+
i
()
b
nnN
∈
+
sązbieżne,to:
a)ciąg
(
a
n
+
b
nnN
)
∈
+
jestzbieżnyoraz
lim(
n
of
a
n
+
b
n
)lim
1
n
of
a
n
+
lim,
n
of
b
n
b)ciąg
(
a
n
−
b
nnN
)
∈
+
jestzbieżnyoraz
lim(
n
of
a
n
-
b
n
)lim
1
n
of
a
n
-
n
lim,
of
b
n
c)ciąg
(
ab
n
⋅
nnN
)
∈
+
jestzbieżnyoraz
lim(
n
of
ab
n
|
n
)lim
1
n
of
a
n
|
lim,
n
of
b
n
d)ciąg
(
|
k
a
b
n
n
N
|
)
nN
∈
+
jestzbieżnyorazlim
n
of
a
b
n
n
1
lim
n
n
lim
of
of
a
b
n
n
,
gdy
b
n
≠0
dla
nN
∈
+
orazlim
n
of
b
n
z0
,
2020Ciągliczbowyijegowłasności
31
