Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
nawskazaćliczbyM,odktórejwartościbezwzględnewszystkichwyra-
zówtegociągusąmniejszelubjejrówne.
Przykład2050
Ciąg
(
|
k
3
1
n
N
|
)
nN
∈
+
jestciągiemgeometrycznymmalejącym,ponieważ
a
n
+
1
−
a
n
=
3
n
1
+
1
−
3
1
n
=
13
3
−
n
+
1
=
3
−
n
2
+
1
<
0
.
Ciągtenjestograniczony,gdyżistniejeliczbaM,np.M=1,odktórej
moduływszystkichwyrazówtegociągusąmniejsze.
Przykład2060
Ciągowyrazieogólnym
a
n
={
[
|
|
[
−
1dla
1dla
n
n
nieparzystych
parzystych
niejestciągiem
monotonicznym,alejestciągiemograniczonym,gdyżistniejeliczbaM,
np.M=2,odktórejmoduływszystkichwyrazówtegociągusąmniejsze.
Kolejnąistotnąwłasnościąciągówliczbowychjestichzbieżność.
Defnicja2060
Ciąg
()
a
nnN
∈
+
jestzbieżnydogranicyg,tzn.liczbagjestgranicąciągulicz-
bowego
()
a
nnN
∈
+
,jeślispełnionyjestwarunek:
ε>
∀
0
n
0
∈
∃
N
+
nn
∀
>
0
a
n
−
g
<ε
.
Oznaczato,żedootoczeniagnależąprawiewszystkiewyrazyciągu
()
a
nnN
∈
+
,czyliwszystkieopróczskończonejliczbywyrazów.
Granicęciągu
()
a
nnN
∈
+
zapisujemywpostaci
lim
n
→∞
a
n
=
g
lub
a
n
n
→.
→∞
g
Należyzauważyć,żedladowolnejliczbyrzeczywistejknastępujące
granicesąrówne0,czyli:
lim
n
→∞
n
k
=
0,
lim
n
→∞
n
k
2
=
0,
lim
n
→∞
n
k
3
=
0
itd.
30
Funkcjajednejzmiennejijejwłasności
