Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
I.METODAANALITYCZNAGEOMETRII
Przykład2.3.Znajdziemyrównanieokręgu
przechodzącegoprzezpunkty
P=(-1,3),Q=(2,2),R=(4,-2).
Szukamyrównaniaokręguwpostaci(x–a)
2+(y–b)2=r2.Podstawiającdotego
równaniawspółrzędnetrzechdanychpunktów,dostajemyukładtrzechrównań
⎧−−
⎪
⎨
⎪
⎩
(1
(2
(4
−
−
a
a
)
a
)
2
2
)
2
+
+−−
+
(2
(2
(3
−
−
b
b
)
b
2
)
)
2
2
=
=
=
r
r
2
r
2
2
.
(*)
Poprzyrównaniulewychstronrównaniapierwszegoidrugiegoorazpierwszego
itrzeciegomamy
(-1-a)
2+(3-b)2=(2-a)2+(2-b)2,
(-1-a)
2+(3-b)2=(4-a)2+(-2-b)2,
tj.
1+2a+a
2+9-6b+b2=4-4a+a2+4-4b+b2,
1+2a+a
2+9-6b+b2=16-8a+a2+4+4b+b2,
apouporządkowaniuiredukcjiwyrazówpodobnych
6a-2b=-2
10a-10b=10.
Rozwiązaniemtegoukładurównańjestparaliczba=-1,b=-2.Zatemśrodkiem
okręgujestpunktS=(-1,-2).Podstawiającjegowspółrzędnedopierwszego
zrównań(*),dostajemy(-1+1)
2+(3+2)2=r2,tj.r2=52.Równanieszukanego
okręgumawięcpostać(x+1)
2+(y+2)2=25.
Przykład2.4.Znajdziemypunktywspólneokręgu(x-2)
2+(y+1)2=9iprostej:
a)y=x,b)x=-1,c)y=x+5.Zakażdymrazemmamydorozwiązaniaodpo-
wiedniukładrównań.
a)(x-2)
2+(y+1)2=9,y=x,podstawiamyywyrażonewdrugimrównaniudo
równaniapierwszego;(x-2)
2+(x+1)2=9,x2-4x+4+x2+2x+1=9,x2-
-x-2=0,x1=2,x2=-1.Ponieważy=x,więcznaleźliśmydwapunkty
wspólneokręguiprostej;(2,2)i(-1,-1).
b)(x-2)
2+(y+1)2=9,x=-1,podstawiamyxwyrażonewdrugimrównaniu
dorównaniapierwszego;(-1-2)
2+(y+1)2=9,9+y2+2y+1=9,y2+2y+
+1=0,(y+1)
2=0;torównaniemajedenpierwiastekdwukrotnyy=-1.
Rozważanyokrągiprostasąstycznewpunkcie(-1,-1).
c)(x-2)
2+(y+1)2=9,y=x+5.Podstawiamypodobniejakpoprzednio:
(x-2)
2+(x+5+1)2=9,x2-4x+4+x2+12x+36=9,2x2+8x+31=0.
