Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.RÓWNANIEOKRĘGU
2.Równanieokręgu
2.RÓWNANIEOKRĘGU
Gdydanejestpewnerównanielubnierównośćwiążącazmiennexiy,tospośród
wszystkichpunktówpłaszczyznysąwyróżnionete,którychwspółrzędnespełniają
torównanie(nierówność).DlakażdegopunktuP=(x,y)możemysprawdzić,czy
jegowspółrzędnespełniajądanerównanie(nierówność);jeślitak,topunktPnależy
dozbiorupunktówopisanychtymwarunkiemalgebraicznym.
OkrągośrodkuSipromieniurjestzbioremwszystkichpunktówpłaszczyzny,któ-
rychodległośćodSjestrównar.Napiszemyterazrównanieokręgu.
TWIERDZENIE2.1.RównanieokręguośrodkuS=(a,b)ipromieniurmapo-
stać(x–a)
2+(y–b)2=r2.
Dowód.JeślipunktP=(x,y)należydookręgu,tojegoodległośćodpunktuS
jestrównar,tzn.
(
xa
−
)
2
+
(
yb
−
)
2
=r,cojestrównoważnezależności
(x–a)
2+(y–b)2=r2.Jeślinatomiastwspółrzędne(x,y)pewnegopunktuspełniają
ostatnierównanie,toodległośćtegopunktuodSjestrównar,zatempunkttenleży
narozważanymokręgu.
Mówimy,żerównanie(x–a)
2+(y–b)2=r2mapostaćkanoniczną.Mającrówna-
niezapisanewpostacikanonicznej,możemybezpośrednioodczytaćwspółrzędne
środkaokręguidługośćjegopromienia(rys.2.1).
Rysunek2.1
Przykład2.1.ZnajdziemyrównanieokręguośrodkuS=(2,3)ipromieniu5.
Jesttorównanie(x-2)
Przykład2.2.ZnajdziemyrównanieokręguośrodkuS=(1,-1)przechodzącego
przezpunktP=(3,1).PromieńokręgujestrównyodległościpunktówPiS,tj.
r=
okrągmarównanie(x-1)
(
31
−
)
2
+
(
1(1)
−−
2+(y-3)2=52.
)
2
2+(y+1)2=8.
.Zatem(3-1)
2+(1+1)2=r2,r2=8.Wobectego
15
