Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.2.RÓŻNICZKOWANIE.RÓWNANIACAUCHY–RIEMANNA
11
gdziezjestpunktemnaokręguośrodkuwzerzeipromieniua(rys.18.5).Gdyzobiegaokrąg,
9rośnieo2π,mamywięc
e
βlna+βi9=f(z)e2πβi.
Zmianawartościf(z)potym,jakzobiegniez=0pookręguto
∆f=(e2πβi–1)f(z).
Jeżeliβjestliczbącałkowitą,toe2πβi=1i∆f=0,awięcz=0niejestpunktemrozgałęzienia.
Jeżelijednakβniejestliczbącałkowitą,toe2πβi/=1iz=0jestpunktemrozgałęzienia.
Rys.18.4.Ilustracjadodowodu,żez0/=0niejestpunk-
temrozgałęzieniafunkcjilnz,apunktz0=0jest
Rys.18.5.Ilustracjadoprzykładu5
Jeżelifunkcjaf(z)jestanalitycznawpewnymobszarzeR,adrugiepochodnefunk-
cjiu(x,y)iv(x,y)sąciągłewR,tozrównań(2.4)wynika,że
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
=0
oraz
∂x2
∂2v
+
∂2v
∂y2
=0.
(2.11)
Innymisłowyfunkcjeu(x,y)iv(x,y)spełniajądwuwymiarowerównanieLaplace’a.
Nazywamyjesprzężonymifunkcjamiharmonicznymi.Równania(2.11)sugerująbliski
związekteoriifunkcjianalitycznychzrównaniemLaplace’awdwóchwymiarach.Bę-
dzietoprzedmiotemrozważańwpodrozdziałach19.4–19.6.
Zrównań(2.4)wynikarównież,żejeżelifunkcjaf(z)jestanalityczna,torodzi-
nykrzywychu(x,y)=c1iv(x,y)=c2sądosiebieprostopadłe.Bysprawdzić,że
rzeczywiścietakjest,zróżniczkujmyu(x,y)=c1pozmiennejx:
∂u
∂x
+
∂u
∂y
dy
dx
=0,
czyli
(tangensnachyleniastycznejdou=c1)=–
ux
uy
.
(2.12)
Wanalogicznysposóbmożemyzróżniczkowaćrównaniev(x,y)=c2pozmiennejx,
