Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
otrzymując
czyli
∂v
∂x
+
∂v
∂y
dy
dx
=0,
(tangenskątanachyleniastycznejdov=c2)=–
vx
vy
.
(2.13)
Gdypomnożymystronamirównania(2.12)i(2.13),otrzymamy(korzystajączewzo-
rów(2.4))
tangenskątanachylenia
stycznejdou=c1
·tangenskątanachylenia
stycznejdov=c2
=
uxvx
uyvy
=–1.
Dwierodzinykrzywychsąwięcprostopadłe.
PRZYKŁAD6
Wykażmy,żerodzinykrzywychu=c1iv=c2związanychzfunkcjąanalitycznąf(z)=z2są
dosiebieprostopadłe.
Rozwiązanie:Dlaf(z)=z2mamy
u(x,y)=x2–y2
oraz
v(x,y)=2xy;
różniczkującrównaniadefiniującekrzywe,dostajemy
2x–2y
dy
dx
=0
oraz
2y+2x
dy
dx
=0.
Iloczyntangensówkątanachyleniadooburodzinjest
równy–1(rys.18.6).
Rys.18.6.Ilustracjapokazująca,żerodzinykrzywych
u(x,y)=x2–y2=c1(linieprzerywane)orazv(x,y)=2xy
=c2(linieciągłe)sądosiebieprostopadłe
Częstowygodniejestzapisaćfunkcjęf(z)wpostacibiegunowej—wartowięc
znaleźćbiegunowąpostaćrównańCauchy–Riemanna.Jeżelif(z)=u(r,9)+iv(r,9),
torównaniaCauchy–Riemannadlaf(z)przyjmująpostać(zadanie21)
ur(r,9)=
1
r
v9(r,9)
oraz
u9(r,9)=–rvr(r,9),
pochodnazaśfunkcjif(z)jestrówna
f,(z)=[ur(r,9)+ivr(r,9)]e–i9.
(2.14)
(2.15)
PRZYKŁAD7
Korzystajączrównań(2.14)i(2.15),wykażmy,żefunkcjaf(z)=1/z2jestróżniczkowalnadla
z/=0,ajejpochodnąjestf,(z)=–2/z3.
