Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.2.RÓŻNICZKOWANIE.RÓWNANIACAUCHY–RIEMANNA
13
Rozwiązanie:Mamyf(z)=1/r2e2i9=(1/r2)(cos29–isin29).Napodstawierównań(2.14)
możemyzapisać
u9=–
ur=–
2sin29
2cos29
r2
r3
=–rvr,
=
1
r
v9
oraz
widzimywięc,żerównania(2.14)sąspełnionedlar/=0.Wzór(2.15)dajenam
f,(z)=–2cos2
r3
9
+
2isin29
r3
e–i9
=–
r3
1
e
–2i9e–i9=–
r3e3i9
2
=–
z3
2
,
r/=0.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU18.2
1.Korzystajączdefinicjipochodnej,znajdźdlanastępującychfunkcjif(z)postaćf,(z)we
wszystkichpunktach,wktórychpochodnataistnieje:
(a)zn
n=0,1,2,...,
(b)
1
z
,
(c)
1+z
1
.
2.Wykaż,żedz∗/dznieistniejedlażadnegoz.
3.Wykaż,żedsinz/dz=cosz.
4.Wykaż,żedsecz/dz=secztgz.
5.Wykaż,żedarsinhz/dz=(1+z2)–1/2.
6.Sklasyfikujpunktyosobliwefunkcjif(z)=z/(z2+4)2.
7.Sklasyfikujpunktyosobliwefunkcjif(z)=
ln(z+i)
(z+1)2
.
8.Sklasyfikujpunktyosobliwefunkcjif(z)=(1+z2)1/2.
9.Wykaż,żeu(x,y)=x3y–xy3jestfunkcjąharmoniczną.
10.Wykaż,żeu(x,y)=x+yjestfunkcjąharmoniczną.
11.Znajdźfunkcjęharmonicznąsprzężonądou(x,y)=x+y.Wskazówka:Skorzystajzrów-
nańCauchy–Riemanna.
12.Znajdźfunkcjęharmonicznąsprzężonądou(x,y)=x3y–xy3.Wskazówka:Skorzystaj
zrównańCauchy–Riemanna.
13.Znajdźrodzinękrzywychprostopadłychdorodzinyu(x,y)=e–ycosx=const.
14.Korzystajączrównań(2.14),wykaż,żefunkcjaf(z)=r2e2i9jestwszędzieanalityczna.
15.Czyfunkcjaf(z)=r2ei9jestróżniczkowalna?Porównajodpowiedźzodpowiedziądo
poprzedniegozadania.
16.Sklasyfikujpunktyosobliwefunkcji
(a)
z2–3z+2
1
,
(b)
(z2+1)3
z2
.
