Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18.2.RÓŻNICZKOWANIE.RÓWNANIACAUCHY–RIEMANNA
9
punktachz∈C,tonazywamyjąfunkcjącałkowitą.Funkcjawykładniczaf(z)=eaz
jestprzykłademfunkcjicałkowitej.
Wychodzączdefinicji(2.1),możemywyprowadzićwszystkieznanenamzteorii
funkcjirzeczywistychregułyróżniczkowania:
dz
d
[c1f1(z)+c2f2(z)]=c1
df1
dz
+c2
df2
dz
,
(2.6)
dz
d
[f(z)g(z)]=f(z)
dg
dz
+
df
dz
g(z),
(2.7)
dz
d
g(z)=
f(z)
g(z)f,(z)–f(z)g,(z)
g2(z)
[g(z)/=0].
(2.8)
Gdyh=f(Ę),zaśĘ=g(z),toregułałańcuchowadlaróżniczkowaniafunkcjizespolo-
nychmapostać
dh
dz
=
df
dĘ
dĘ
dz
.
(2.9)
Takżegdyw=f(z)iz=f–1(w),mamy
dw
dz
=
dz/dw
1
,
(2.10)
oiletylkodz/dwjestróżneodzera.Zapomocątychregułmożemywyprowadzićreguły
różniczkowaniaanalogicznedotych,jakieznamyzteoriifunkcjirzeczywistych.
PRZYKŁAD3
Wykażmy,że
dz
d
lng(z)=
g,(z)
g(x)
.
Rozwiązanie:Zaczniemyodwykazania,że(d/dz)lnz=1/z,anastępnieskorzystamyzrównania
(2.9).Przyjmijmyw=lnz(awięcz=ew)iskorzystajmyzewzoru(2.10):
dw
dz
=
dlnz
dz
=
dz/dw
1
=
ew
1
=
1
z
.
Możemyterazużyćrównania(2.9)zh=f(Ę)=lnĘiĘ=g(z):
dlng(z)
dz
=
Ę
1
dg
dz
=
g,(z)
g(z)
.
Punkty,wktórychfunkcjaf(z)jestanalityczna,nazywamypunktamiregularny-
mi,zaśpunkty,wktórychf(z)niejestanalityczna—punktamiosobliwymi.Wpunk-
tachosobliwychfunkcjaf(z)jestczęsto(choćniezawsze)nieograniczona.Naprzykład
punktz=2jestpunktemosobliwymfunkcjif(z)=1/(z–2).
Niechz0będziepunktemosobliwymfunkcjif(z).Jeżeliistniejenakłuteδ-otoczenie
punktuz0,wktórymniemażadnychpunktówosobliwych,mówimy,żez0jestizolowa-
nympunktemosobliwym.Punktz=2jestizolowanympunktemosobliwymfunkcji
f(z)=1/(z–2).
