Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
18.FUNKCJEZMIENNEJZESPOLONEJ—TEORIA
Okazujesię,żeabyfunkcjaf(z)=u(x,y)+iv(x,y)byłaróżniczkowalna,funkcje
u(x,y)iv(x,y)musząspełniaćpewneszczególnezależności,nazywanerównaniami
Cauchy–Riemanna.Możemyjełatwowyprowadzić.Obliczmywartośćf,(z
0),przecho-
dzącnajpierwzydoy0,anastępniebiorącx→x0:
f,(z
0)=lim
x→x0
u(x,y0)–u(x0,y0)
x–x0
+i
v(x,y0)–v(x0,y0)
x–x0
(2.2)
=ux(x0,y0)+ivx(x0,y0).
Obliczmyterazf,(z
0),biorącnajpierwx→x0,anastępniey→y0:
f,(z
0)=lim
y→y0
u(x0,y)–u(x0,y0)
i(y–y0)
+i
v(x0,y)–v(x0,y0)
i(y–y0)
(2.3)
=–iuy(x0,y0)+vy(x0,y0).
Granicewrównaniach(2.2)i(2.3)musząbyćrówne.Gdyporównamykolejnoczęści
rzeczywisteiurojonekażdejznich,otrzymamy
ux=vy
oraz
uy=–vx.
(2.4)
Warunki(2.4)torównaniaCauchy–Riemanna.Jakwynikazichwyprowadzenia,są
onewarunkamikoniecznyminato,byfunkcjaf(z)byłaróżniczkowalna.Jeżelipierwsze
pochodnecząstkoweu(x,y)iv(x,y)istniejąisąciągłewpunkciez0=(x0,y0),to
równaniaCauchy–Riemannasąrównieżwarunkamidostatecznymi(zadanie20prowadzi
przezdośćkrótkidowódtegotwierdzenia).
Możemypołączyćrównania(2.2),(2.3)i(2.4),pisząc
f,(z
0)=ux(x0,y0)+ivx(x0,y0)=vy(x0,y0)–iuy(x0,y0).
(2.5)
PRZYKŁAD2
Korzystajączrównań(2.4),wykażmy,żefunkcjaf(z)=eaz(gdzieajestpewnąrzeczywistą
stałą)jestwszędzieróżniczkowalna.Dodatkowosprawdźmy,żespełnionesąrównania(2.5).
Rozwiązanie:Zapiszmynasząfunkcjęwpostacif(z)=u(x,y)+iv(x,y)=eaxcosay+
ieaxsinay.Mamyzatem
ux=ae
axcosay=vy
oraz
uy=–ae
axsinay=–vx.
Cowięcej,zrównania(2.5)otrzymujemy,zgodniezoczekiwaniem
f,(z)=aeaxcosay+iaeaxsinay=aeaz.
Wprzykładzie2niewyróżniliśmyżadnegoszczególnegopunktuz0,gdyżfunkcja
f(z)=eazjestwszędzieróżniczkowalna.Jeżelipochodnafunkcjif(z)istniejenietyl-
kowz0,aleteżwewszystkichpunktachpewnegootoczeniaz0,mówimy,żef(z)jest
analitycznawpunkciez0.Jeżelipochodnaf,(z)istniejewewszystkichpunktachobsza-
ruR,mówimy,żef(z)jestanalitycznawR.Gdyf(z)jestanalitycznawewszystkich
