Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.1.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEPIERWSZEGORZĘDUIPIERWSZEGOSTOPNIA
7
Nawetjeżelirównanieróżniczkoweniejestzupełne,możnajeczasemprzekształcić
dorównaniazupełnego,mnożącjeprzezodpowiedniąfunkcjęzmiennychxiy.Taką
funkcję(oileistnieje)nazywamyczynnikiemcałkującym.JeżelinaprzykładM(x,y)
iN(x,y)sąsumamiiloczynówpotęgxiy,tomożemysięspodziewać,żeczynnik
całkującybędziepostacixαyβ.Rozważmyrównanieróżniczkowe
(1–xy)
dy
dx
+y2+3xy3=0;
(1.8)
jakwidaćM(x,y)=y2+3xy3,aN(x,y)=1–xy.Równanie(1.8)niejestwtejpo-
stacirównaniemzupełnym,alejeżelipomnożymyjeprzezxαyβizażądamy,by∂M/∂y
=∂N/∂x,stwierdzimy,żebędzietakgdyα=0iβ=–3(zadanie22).Zamiast
równania(1.8)otrzymamy
3x+1
ydx+1
y3
–
y2dy=0,
x
(1.9)
atorównaniejestjużzupełne.Zapomocąwprowadzonejjużwcześniejmetodyrozwią-
zywaniarównańzupełnychznajdujemyrozwiązanie(zadanie23)
f(x,y)=
3x2
2
+
x
y
–
2y2
1
+c,
(1.10)
któregopoprawnośćmożeciestwierdzić,podstawiającjepoprostudorównania(1.8).
Podręcznikiteoriirównańróżniczkowychwprowadzająmetodyposzukiwaniaczyn-
nikówcałkującychdlakonkretnychtypówrównań,alenawetwtedyznalezieniewła-
ściwegoczynnikacałkującegojestraczejsprawąszczęścia.Niemniejjednakczynniki
całkującepełniąważnąrolęwniektórychteoretycznychrozważaniachnadrównaniami
różniczkowymi,oczymprzekonamysięwnastępnympodrozdziale.
Przypomnijmy,żewpodrozdziale6.4zdefiniowaliśmyfunkcjęjednorodnąstopnian
jakofunkcjęspełniającąwarunek
f(λx,λy)=λnf(x,y).
(1.11)
RównanieróżniczkoweM(x,y)dx+N(x,y)dy=0nazywamyrównaniemjednorod-
nym,gdyM(x,y)iN(x,y)sąfunkcjamijednorodnymitegosamegostopnia.Wzada-
niu18należywykazać,żepodstawieniew=y/xprzekształcajednorodnerównanie
różniczkowewrównanieozmiennychrozdzielonych.Naprzykładrównanie
dy
dx
=
x2+y2
2xy
jestjednorodne.Podstawieniey=wxdajenam
x
dw
dx
+w=
1+w2
2w
,
skąd
czyli
–ln(1–w2)=lnx+c
1,
y(x)=±(x2–c
2x)1/2.
