Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.1.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEPIERWSZEGORZĘDUIPIERWSZEGOSTOPNIA
5
tęostatniąrównośćmożemyscałkowaćstronami,uzyskujemywtedyrozwiązanie
x2/2=y+lny+c.
PRZYKŁAD3
Rozważmypionowyruchciałaomasiem,naktóredziałasiłaciężkościmgisiłaoporupropor-
cjonalnadoprędkościciałav.Jeżelioznaczymyv=dx/dtiprzyjmiemy,żedodatniapółośosi
xjestskierowanadogóry,jaknarysunku11.2,torównanieruchudlategociałamapostać
m
dv
dt
=–γv–mg.
Rozwiążemytorównanieprzywarunkupoczątkowymv=v0.
Rozwiązanie:Jesttoprzykładrównaniaróżniczkowegoorozdzielonychzmiennych:
γv+mg
mdv
=–dt,
czyli
m
γ
ln(γv+mg)=–t+c
albo
γv+mg=Ae–γt/m,
gdzieA=eγc/m.Przyjmującv=v
0dlat=0,otrzymujemyA=γv0+mg,azatem
v(t)=v0+
mg
γe–γt/m–
mg
γ
.
Zrozwiązaniategowynika,żeprędkośćciałaspadającegowśrodowiskustawiającymopórzbliża
siędostałejrównej–mg/γ,zwanejprędkościągraniczną.Zauważcierównież,żetakiwynik
otrzymalibyśmy,podstawiającdv/dt=0dopoczątkowegorównania.
Innymtypemłatwychdorozwiązaniarównańróżniczkowychpierwszegorzędusą
równaniaróżniczkowezupełne.Zupełnerównanieróżniczkowetoróżniczkazupełna
równaniaF(x,y)=c,awięcrównaniepostaci
dF=
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;
(1.5)
wtymprzypadkurównośćdrugichpochodnychcząstkowychfunkcjiF(x,y)dajenam
kryterium
∂y∂x
∂2F
=
∂M
∂y
=
∂N
∂x
=
∂x∂y
∂2F
.
(1.6)
Jeżelirównanie(1.6)jestspełnione,torozwiązaniejestdaneprzez
F(x,y)=∫
∂F
∂x
dx+g(y)=∫
∂F
∂y
dy+h(x),
(1.7)
gdziecałkujemy„cząstkowo”,afunkcjeh(x)ig(y)są„funkcjamicałkowania”.Inny-
misłowy,wpierwszejcałcey,awdrugiejxsątraktowanejakostałe.Dlaprzykładu
