Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
zbadajmyrównanieróżniczkowe
(2y+2)dx+2xdy=0.
Warunek(1.6)jestspełniony,gdyż∂(2y+2)/∂y=∂(2x)/∂x,azatem
F(x,y)=∫(2y+2)dx+g(y).
Wtymrównaniuytraktujemyjakostałą,więc
F(x,y)=2xy+2x+g(y).
Funkcjęg(y)możemywyznaczyć,podstawiającpowyższywynikdorównania∂F/∂y
=N(x,y)=2x.Otrzymamy
∂F
∂y
=2x+
dg
dy
=2x,
codajeg(y)=c=const.Rozwiązaniemjestzatem
F(x,y)=2xy+2x+A,
gdzieAjestpewnąstałą.
PRZYKŁAD4
Rozwiążemyrównanieróżniczkowe
dy
dx
=
a2–2xy–y2
(x+y)2
.
Rozwiązanie:Napoczątekprzekształcimyrównaniedopostaci
(a2–2xy–y2)dx–(x+y)2dy=0.
Warunek(1.6)jestspełniony,gdyż
∂(a2–2xy–y2)
∂y
=–2x–2y=–
∂(x+y)2
∂x
,
widzimywięc,żemamydoczynieniazrównaniemzupełnym,zatem
F(x,y)=∫(a2–2xy–y2)dx+g(y)=a2x–x2y–xy2+g(y).
Skorzystamyterazztego,że
∂F
∂y
=–x2–2xy+
dg
dy
=N(x,y)=–(x+y)2=–x2–2xy–y2.
y3
Stądotrzymujemyg(y)=–
+c,azatem
3
F(x,y)=a2x–x2y–xy2–
y3
+c.
3
BadaneprzeznasrównaniejestróżniczkązupełnąrównaniaF(x,y)=–c.
