Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.1.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEPIERWSZEGORZĘDUIPIERWSZEGOSTOPNIA
9
równania—jegowykresnazywamykrzywąlogistyczną.Narysujtękrzywąiwyjaśnijjej
kształt.Wykaż,żex(t)→a/bdlawszystkichwartościx(0)zwyjątkiemx(0)=0.
6.Zbadaj,którezponiższychrównańsąrównaniamizupełnymiirozwiążte,któresązupełne:
(a)2xydy+(x2+y2)dy=0.
(b)(2x+y)dx+(y–x)dy=0.
(c)(4+xy2)dx+yx2dy=0.
(d)(sinx+y)dx+(x–2cosy)dy=0.
7.Czasamiprostepodstawienieprzekształcaskomplikowanerównaniewtakie,którepotra-
fimyłatworozwiązać.Czypotrafiszznaleźćtakiepodstawieniadlanastępującychrównań
różniczkowych?
(a)xdy+ydx=xy3dx.
(b)
(d)
dy
dx
dy
dx
=
=
x–y
x+y
x2+y2
xy
.
.
(c)
dy
dx
=
x+y–1
x+y+1
.
8.Naciałospadającewpowietrzudziałasiłaoporubędącafunkcjąjegoprędkości.Możemy
napisaćrównanieNewtona:mdv/dt=mg–f(v).Wwieluprzypadkachokazujesię,żesiła
f(v)jestproporcjonalnadoprędkości.Wyznaczwzórnav(t)przyzałożeniu,żef(v)=αv
iżepoczątkowociałojestwspoczynku(awięcv(0)=0).
9.Wyprowadźirozwiążrównanieróżniczkoweopisującekrzywąotejwłasności,żestyczna
doniejwdowolnympunkcie(x,y)przecinaośywpunkcie(0,2xy2).
10.Jakiejestrównaniekrzywejotejwłasności,żekażdaprostanormalnadoniej(tojestprosto-
padładostycznejiprzechodzącaprzezpunktstyczności)przechodziprzezpoczątekukładu
współrzędnych?
11.Wyznaczrównanierodzinykrzywychprostopadłychdorodzinyhiperbolzadanejwzorem
xy=c.
12.Wyznaczrównanierodzinykrzywychprostopadłychdorodzinykardioidr=c(1+sin9).
Wskazówka:Skorzystajzrównania(8.1.3).
13.Znajdźrównaniekrzywejotejwłasności,żekażdypunkt(x,y)nakrzywejleżywtejsa-
mejodległościodpoczątkuukładuwspółrzędnychiodpunktuprzecięciazosiąxprostej
normalnejdokrzywejwtympunkcie.
14.Rozważpojemnik,zktóregoprzezotwórwdniewypływaciecz.Jeżeliprzezh(t)oznaczy-
mywysokośćsłupacieczynadotworem,toszybkość,zjakącieczwypływaprzezotwór,jest
równav=c(2gh)1/2,gdziegjestprzyspieszeniemziemskim(9,81m·s–2),acjestpewną
stałąempiryczną,równązazwyczajokoło0,6.Szybkośćzmianyobjętościcieczywpojemni-
kutodV/dt=–av=–ac(2gh)1/2,gdzieajestpowierzchniąotworu.Korzystającztego,
żeV=∫
0A(h)dh,gdzieA(h)jestpowierzchniąprzekrojupoprzecznegopojemnikanawy-
h
sokościh,wykaż,że
dh
dt
=–
ac(2gh)1/2
A(h)
.
WyniktenjestznanyjakoprawoTorricellego.
15.Wtymzadaniukorzystamyzpoprzedniego.Półkolistypojemnikopromieniu1metrajest
pełencieczy.Cieczwypływaprzezotwórwdnieopowierzchni1cm2.Pojakimczasie
zpojemnikawypłyniecałaciecz?
