Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.RównanieróżniczkowezwyczajnelinioweII-gorzędu
35
Definicja2.4.Dwiecałkiy1iy2RJnazywamy:
a)liniowozależnymiwprzedziale(I7b),gdyistniejąstałeC1iC2niewszystkie
równezeru,takie,że
C1y1+C2y2.0
b)liniowoniezależnymiwprzedziale(I7b),gdyzrówności:
C1y1+C2y2.0
wynika,żeC1.0orazC2.0
c)ocałkachy1,y2liniowoniezależnychwprzedziale(I7b)mówimy,żetworzą
układpodstawowycałek.
Twierdzenie2.2.Całkiy17y2równaniajednorodnego(BJ)siliniowonieza-
leżnewprzedziale(I7b)wtedyitylkowtedy,gdywyznacznikWrońskiegojest
różnyodzerawprzedziale(I7b)tzn
W(y17y2).
l
l
l
ly1y2
y0
1
y0
2
l
l
l
l.0dlavxE(I7b)
Dowód.
Konieczność:
Niechy17y2będącałkamiRJliniowoniezależnymitzn.zrównościC1y1+C2y2.0
wynika,żeC1.0iC2.0.
RóżniczkującrównośćC1y1+C2y2.0mamy:
f
C1y1+C2y2.0
C1y0
1+C2y0
2.0
Zatemukładtenposiadatylkorozwiązaniezerowe;wyznacznikmusibyćróżny
odzera.
Dostatecznośćwarunku
JeżeliW.0,toy17y2sącałkamiRJliniowoniezależnymi.
Dowódprzeprowadzimymetodąniewprost.Niechy17y2będącałkamiliniowo
zależnymitzn.
f
C1y1+C2y2.0
C1y0
1+C2y0
2.0
Powyższyukładmarozwiązanieniezerowetzn.W.0,atojestsprzecznezza-
łożeniem.
Uzyskanasprzecznośćdowodzitezętwierdzenia.
Twierdzenie2.3.Jeżelicałkiy17y2równaniajednorodnegosiniezależne
wprzedziale(I7b)tocałkaogólnarównaniajednorodnegowyrażasięwzorem
y.C1y1+C2y2
C)O)B)J)
