Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
K.Maurin,Matematykaafizyka,Warszawa2010
ISBN978-83-01-16256-6,©byWNPWN2010
18
2.Wspólnepoczątkimatematykiifizyki
203060TWIERDZENIESPEKTRALNE(Hilbert–vonNeumann)0Każdyoperator
samosprzężonyA=A∗wHwyznaczamiaręrzutowąPAnaprostejR,onośniku
równymwidmu(spektrum)Sp(A)operatoraA.Miarataspełniawarunek
(Ah|f)=∫
Ad(PA(A)h|f)7
krócejA=∫
AdPA(A)
R
R
określającyjąjednoznacznie.(Mówimy,żePAjestmiarąspektralnąoperatoraA.)
I
Uwaga0Prawastrona(1)nazywasię,takjaknazwałjąBoltzmann,średniąprzestrzenną.
Boltzmann(obokGibbsa),twórcamechanikistatystycznej,chciałudowodnić—za-
sadniczedlajegoteorii—twierdzenie,żeśredniaczasowa=średniaprzestrzenna.Miał
złudzenie,żezałożenietranzytywnościprzepływuFt(tzn.założenie,żekażdaFt-orbita
jestgęstawP)pozwolimuwykazaćrówność(1)wewszystkichpunktach.(Kiedy
okazałosię,żejegorozumowaniezawierabłądniedonaprawieniaBoltzmannpopełnił
samobójstwo.)Widzimy,żezastępując„tranzytywność”„metrycznątranzytywnością”
vonNeumannotrzymałupragnionyprzezBoltzmannarezultat.KilkamiesięcypoNeu-
mannie,G.D.Birkhoff(1884–1944)sformułowałiudowodniłtrudniejsze„punktowe
twierdzenieergodyczne”.
203070TWIERDZENIEERGODYCZNEBIRKHOFFA0Dlakażdejw∈L1(P7ł)
granica
w(x)=limwT(x)7
~
T→∞
istniejedlał—prawiewszystkichx∈P,przytym~
w∈L1(P7ł)oraz~
w◦Ft=~
w
p.w.ł.Jeślił(P)<∞idziałanieFtnaPjestmetrycznietranzytywne,to~
wjeststała:
w=
~
ł(P)∫w(x)dł(x).
1
I
Twierdzeniatebyłypoczątkiemwielkiej,żyworozwijającejsięteoriiergodycznej,
którawzbogaciłaszeregdziałówmatematyki(np.teorięliczb).
Widzimy,żegłówneproblemyfizykistatystycznejdoprowadziłydorozwojutakich
podstawowychdziałówmatematyki,jakteoriamiaryiteoriaprawdopodobieństwaoraz
spowodowałypowstanietakpięknychdziedzin,jakdynamikatopologicznaczyteoria
ergodyczna.
Zteoriąergodycznązwiązanejestniesłychanieinteresujące
203080TWIERDZENIEOPOWRACANIU(Poincaré1890)0Niech(X7u)będzie
przestrzeniązmiarąskończonąuiniechS:X→Xbędziemierzalnymautomor-
fizmem.NiechB⊂Xbędziedowolnymmierzalnympodzbiorem.Wówczasu-prawie
wszystkiepunktyzbioruBsąpowracające.(Punktx∈Bnazywasiępowracającym,ze
względunaSiB,jeśliistniejen∈N,takieżeSnx∈B).
Uwagi
10TwierdzeniePoincarégojestzaskakujące:zbiórBmożebyćdowolniemałymotocze-
niempunktuxwprzestrzeniX,niemniejjednaknaS-trajektoriipunktuxznajdująsię
punktyleżącewtymotoczeniu.
