Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
x∈D
^
f(x+T)1f(x).
LiczbęTnazywamywówczasokresemfunkcjif.
Czytelnikznaprzykładyfunkcjiokresowychzkursumatematykiszkol-
nej(np.funkcjetrygonometryczne).Ważnymprzykłademfunkcjiokreso-
wejjestfunkcjaDirichleta.
Przykład205.FunkcjaDirichletaD:R→{0,1}danajestwzorem
D(x)1
(
4
l
1,
0,
gdyx∈Q,
gdyx∈R\Q.
Pokażemy,żekażdaliczbawymiernaróżnaodzerajestokresemfunkcji
D.Wtymceluustalmydowolnieq∈Q\{0}.Pokażemy,że
x∈R
^
D(x+q)1D(x).
Rozpatrzmydwaprzypadki:
(i)x∈Q,
(ii)x∈R\Q.
Wprzypadku(i)mamyx+q∈Q,zatem
D(x+q)111D(x),
(2.8)
codowodzi(2.8).Wprzypadku(ii)mamy,jakłatwosprawdzić,x+q∈
R\Q,zatem
D(x+q)101D(x),
cokończydowód(2.8).
Przykład206.Cechą(całością)liczbyrzeczywistejłnazywamynajwięk-
sząliczbęcałkowitą,nieprzekraczającąliczbył.Cechęliczbyłozna-
czamysymbolem[ł].Zdefinicjicechydostajemy[3
2]11,[−13
4]1−4,
[√5]121[2].Liczbęm(ł):1ł−[ł]nazywamymantysąliczbył.
Czytelnikzechcesprawdzić,żefunkcjaR3x→[x]jestfunkcjąrosnącą,
natomiastfunkcjaR3x→m(x)jestfunkcjąokresowąookresie1.
