Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Funkcjemonotoniczneiwypukłe
31
Uwaga202.Jeślif:D→Rjestfunkcjąsilnierosnącą(silniemalejącą),
tofunkcjaf11:f(D)→Djestfunkcjąsilnierosnącą(silniemalejącą).
Dowód0Przeprowadzimygodlafunkcjisilnierosnącej;dowódwprzy-
padku,gdyfunkcjajestsilniemalejąca,jestanalogiczny.Niechf:D→R
będziefunkcjąsilnierosnącą,af11:f(D)→Dfunkcjąodwrotnądof.
Załóżmy,dladowoduniewprost,żeistniejąy1,y2∈f(D)takie,że
y1<y2
i
f
11(y1)>f11(y2).
Zfaktu,żefjestfunkcjąsilnierosnącąiz(2.7)dostajemy,że
y11f(f
11(y1))>f(f11(y2))1y2,
coprzeczy(2.7)ikończydowód.
Przykład204.Funkcjaf:[−2,2]→[0,2]danawzorem
f(x)1√4−x2
(2.7)
jestrosnącawprzedziale[−2,0],amalejącaw[0,2],natomiastwprze-
dziale[−2,2]fniejestmonotoniczna.
Spośródwielugeometrycznychwłasnościfunkcjirzeczywistychwy-
różnimyjeszczekilkadalszych.
Załóżmy,żeniepustyzbiórDCRjesttaki,iżjeślix∈D,to−x∈D.
Mówimy,żefunkcjaf:D→Rjestparzysta,jeśli
x∈D
^
f(−x)1f(x),
anieparzysta,jeśli
x∈D
^
f(−x)1−f(x).
Geometrycznie,parzystośćfunkcjioznacza,żejejwykresjestsymetryczny
względemosirzędnych,natomiastnieparzystośćfunkcjioznacza,żepunkt
(0,0)jestśrodkiemsymetriijejwykresu.
Załóżmy,żedanajestliczbaT/10orazniepustyzbiórDCRtaki,
żejeślix∈D,tox+T∈D.Mówimy,żefunkcjaf:D→Rjest
okresowaookresieT,jeśli
