Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
Wprzedziale(qI,q5)istniejezatemliczbacałkowitap,cooznacza,że
qI<p<q5,
astąd
I<
p
q
<5.
Liczbawymiernap
qnależywięcdoprzedziału(I,5).
Abywykazać,żewprzedziale(I,5)istniejetakżeliczbaniewymier-
na,ustalmydowolnieliczbęwymiernąr∈(0
√2,
√2)\{0},wówczas
β
√2
I
<r<
√2
5
,
więcrl√2∈(I,5).Ponieważr∈Q\{0},więcrl√2∈Q/,cołatwo
wynikazdobrzeznanegofaktu,że√2∈Q/.
2.2.Funkcjemonotoniczneiwypukłe
NiechdanybędzieniepustyzbiórDCRorazfunkcjaf:D→R.Mó-
wimy,żefunkcjafjestrosnąca(słaborosnącalubniemalejąca)wzbio-
rzeD,jeślidladowolnychx1,x2∈Dzachodzinastępującaimplikacja:
(x1<x2)⇒(f(x1)<f(x2)).Jeślidladowolnychx1,x2∈Dzachodzi
implikacja(x1<x2)⇒(f(x1)<f(x2)),tomówimy,żefunkcjafjest
silnierosnącawzbiorzeD.Mówimy,żefunkcjafjestmalejąca(słabo
malejącalubnierosnąca)wzbiorzeD,jeślidladowolnychx1,x2∈D
zachodziimplikacja(x1<x2)⇒(f(x1)>f(x2)).Jeślidladowolnych
x1,x2∈Dzachodziimplikacja(x1<x2)⇒(f(x1)>f(x2)),tomówi-
my,żefunkcjafjestsilniemalejącawzbiorzeD.
Funkcje,któresąmalejące,silniemalejące,rosnącelubsilnierosnące
wzbiorzeDnazywamyfunkcjamimonotonicznymiwzbiorzeD.
Zdefinicjifunkcjisilniemonotonicznychwynikanatychmiast
Uwaga2010JeślifunkcjafjestsilniemonotonicznawzbiorzeDCR,
tojestróżnowartościowawD.Istniejezatemfunkcjaf11:f(D)→D
odwrotnadofunkcjif.
