Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Własnościzbioruliczbrzeczywistych
(ł,b):1{(x1,x2,...,xn)∈R
n:xi∈(łi,bi),i∈{1,...,n}}
nazywamyprzedziałemotwartymwRn,natomiastzbiór
[ł,b]:1{(x1,x2,...,xn)∈R
n:xi∈[łi,bi],i∈{1,...,n}}
nazywamyprzedziałemdomkniętymwRn.Oczywiście
(ł,b)1(ł1,b1)X(ł2,b2)X...X(łn,bn)
oraz
[ł,b]1[ł1,b1]X[ł2,b2]X...X[łn,bn].
Przykładowo,gdyn12,wówczasprostokąt
P1{(x1,x2)∈R
2:2<x1<3,1<x2<3}
27
jestprzedziałemdomkniętymwR2;oczywiścieP1[2,3]X[1,3].Przyj-
mującł1(2,1),b1(3,3),otrzymamyP1[ł,b].
Zbioryograniczone,kresy,aksjomatciągłości0Niech∅/1ACR
będziedowolnymzbiorem.Mówimy,żezbiórAjestograniczonyzdołu,
jeśliistniejem∈Rtakie,żedlakażdegox∈Azachodzinierówność
m<x.Mówimy,żezbiórAjestograniczonyzgóry,jeśliistniejeM∈R
takie,żedlakażdegox∈Azachodzinierównośćx<M.Mówimy,że
zbiórAjestograniczony,jeślijestograniczonyzgóryizdołu.Łatwo
zauważyć,żezbiórAjestograniczonywtedyitylkowtedy,gdyistnieje
M>0takie,żedladowolnegox∈Azachodzinierówność|x|<M.
Przykład2010Zbiór{1
n:n∈N}jestograniczony;dladowolnegon∈N
zachodząbowiemnierówności0<1
n<1.
Przykład2020ZbiórliczbnaturalnychNjestograniczonyzdołu(np.przez
liczbę1),natomiastniejestograniczonyzgóry.
Przykład2030Dladowolnychł,b∈Rtakich,żeł<b,przedziały[ł,b],
(ł,b),[ł,b),(ł,b]sązbioramiograniczonymi.
Rozważmyprzedział[1,2).Jesttozbiórograniczony.Jestonograni-
czonyzgórynp.przez5,atakżeprzez3,wistocieprzezkażdąliczbę
