Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
Dowód0Niech
S:1{n∈N:
^
(1+x)n>1+nx}.
x>11
x/=o
Pokażemy,że2∈S.Ponieważx2>0dlax/10,więcdladowolnego
x∈R\{0}zachodzinierówność
(1+x)
211+2x+x2>1+2x,
zatem2∈S.Załóżmyteraz,żen∈S.WówczaszdefinicjizbioruS
dostajemy,że
x>11
x/=o
^
(1+x)n>1+nx.
Zfaktu,żex2>0oraz1+x>0dlax>−1,x/10,wynika,że
(1+x)n+11(1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)1
11+(n+1)x+nx
2>1+(n+1)x,
atooznacza,że(n+1)∈S.Namocyzasadyindukcjiwnosimystąd,że
S1{n∈N:n>2},cokończydowód.
Przypomnimyterazpojęciewartościbezwzględnejliczbyrzeczywi-
stejipodamyniektórejejwłasności.Dladowolnegox∈Rsymbolem
|x|oznaczamywartośćbezwzględną(moduł)liczbyxidefiniujemyją
następująco:
|x|:1
(
4
l
−x,
x,
gdyx>0,
(2.1)
gdyx<0.
Zdefinicjitejwynikająnatychmiastnastępującerówności:
|−x|1|x|,
oraznierówności:
|x|
21x2,
√x21|x|
−|x|<x<|x|.
(2.2)
Ponadto,dladowolnegoc>0ix∈R,mamy
|x|<c⇔(−c<x<c)oraz|x|>c⇔(x<−clubx>c).(2.3)
