Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Odwzorowania
Funkcjag◦f:R→Rprzyjmujenatomiastpostać
(g◦f)(x)1g(f(x))1g(x
3)1sinx3,x∈R.
19
Przykładtenpokazuje,żeskładanieodwzorowańniemusibyćprzemienne.
NiechAiBbędąniepustymizbiorami.Powiemy,żezbioryAiBsą
równoliczne,jeśliistniejeodwzorowanieodwracalne(różnowartościowe
i„nan)f:A→B.
Jestoczywiste,żejeślizbioryAiBsąskończone,tosąrównoliczne
wtedyitylkowtedy,gdymajątęsamąilośćelementów.ZbiórAnazwie-
myprzeliczalnym,jeślijestrównolicznyzpewnympodzbioremzbioruN
liczbnaturalnych.Zbiory,któreniesąprzeliczalne,nazywamynieprze-
liczalnymi.Wykażemypóźniej,żekażdyniezdegenerowanyprzedziałna
prostej(tj.ododatniejdługości)jestnieprzeliczalnyijestrównoliczny
zR,atakżepokażemy,żezbiórliczbwymiernychjestrównolicznyzN.
Terazzauważmy,żezbiórZwszystkichliczbcałkowitychjestrównoliczny
zN.Funkcjaf:Z→Ndanawzorem
(
I
I
−2k+2dlak∈{−1,−2,...},
f(k)1
4
I
I
l
2k−1
2
dlak10,
dlak∈N,
jestbowiemodwracalna.
Rozważmyterazjeszczejednąoperację(oprócz„∪n,„∩ni„\n)two-
rzenianowychzbiorów.Operacjatazwanajestiloczynemkartezjańskim
(lubproduktem)zbiorów.NiechXiYbędądowolnyminiepustymizbio-
rami.IloczynkartezjańskizbiorówXiYoznaczamysymbolemXXY
idefiniujemynastępująco:
XXY:1{f:{1,2}→X∪Y:f(1)∈X∧f(2)∈Y}.
(1.1)
KażdeodwzorowanieF:{1,2}→X∪Yspełniającewarunkif(1)∈X
if(2)∈Ynazywamyparąuporządkowaną(elementówzbioruX∪Y)
Paryuporządkowanebędziemyzapisywaćwpostaci(f(1),f(2)),aozna-
czającf(1)1xorazf(2)1y,możemyiloczyn(1.1)zapisaćnastępująco:
XXY1{(x,y):x∈X∧y∈Y}.
