Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
Modelewyborukonsumenta
Równania(1.29c)i(1.30)tworząnastępującyukładrównań:
D
2
p
1
p
x
1
1
x
1
−D
+p
1
p
2
2
x
x
2
2
=m
=0
⎫
⎬
⎭
,
któregorozwiązanie(względemx
1
orazx
2
)wyznaczypunktstacjonarnywielomianu
Lagrange’a(1.28).Powyższyukładrównańmożnarównieżzapisaćwpostaci
macierzowej:
⎡
⎢
⎣
D
2
p
1
p
1
−D
p
1
2
p
2
⎤
⎥
⎦
·⎢
⎡
⎣
x
x
1
2
⎤
⎥
⎦
=⎢
⎡
⎣
m
0
⎤
⎥
⎦
(1.31)
irozwiązać,korzystającnp.ztwierdzeniaCramera(metodywyznacznikówCramera).
KolejnewyznacznikiCrameraukładurównań(1.31)danesąwzorami:
W=
D
p
2
p
1
1
−D
p
1
2
p
2
=−D
1
p
1
p
2
−D
2
p
1
p
2
=−(D
1
+D
2
)p
1
p
2
≠0,
W
1
=
m
0
−D
p
1
2
p
2
=−D
1
mp
2
oraz
W
2
=
D
p
2
p
1
1
m
0
=−D
2
mp
1
.
(1.32a)
(1.32b)
(1.32c)
PonieważwyznacznikW,danyrównaniem(1.32a),jestróżnyodzera,więcukład
równań(1.31)madokładniejednorozwiązanie.Rozwiązanieto(x
*
1
,x
*
2
),będące
punktemstacjonarnymanalizowanegotuwielomianuLagrange’a,opisująnastępujące
ilorazywyznaczników(1.32abc):
x
*
1
=
W
W
1
=
−(D
−D
1
+D
1
mp
2
)p
2
1
p
2
=
(D
1
D
+D
1
m
2
)p
1
oraz:
x
*
2
=
W
W
2
=
−(D
−D
1
+D
2
mp
2
)p
1
1
p
2
=
(D
1
+D
D
2
m
2
)p
2
.
(1.33a)
(1.33b)
Jeśliwyznacznikhesjanuobrzeżonego"H
^(l)"wielomianuLagrange’a(1.28)
będziedodatniwpunkciestacjonarnymopisanymrównaniami(1.33ab),towpunkcie
tymanalizowanykonsumentbędziemaksymalizowałfunkcjęużyteczności(1.22)na
liniiograniczeniabudżetowego.Wyznaczniktenmożnazapisaćwzorem(1.13).
