Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Analizamatematyczna
istnienieliczbniewymiernych.OczywiściezbiórRzQwszystkichliczbnie-
wymiernychjestnieprzeliczalny.Znanymprzykłademliczbyniewymier-
nejjestπ(stosunekdługościokręgudodługościjegośrednicy).Niewy-
miernośćliczbyπpokazałLambert1w1761roku,aspopularyzowałją
EulerwdzieleAnaliza.
Pokażemyteraz,że
(1.3)
Liczba?2jestniewymierna.
Załóżmyprzeciwnie,że?2jestliczbąwymierną.Zatem,zgodniezde-
finicją1.4,istniejąliczbymPZilPNtakie,że?2“m
l.Możemyprzy
tymzałożyć,żeułamekm
ljestnieskracalny(liczbymilniemająwspól-
nychpodzielników).Wtedy2“m
l2,czylim2“2l2.Widaćwięc,żem2jest
2
liczbąparzystą,czylitakżemjestliczbąparzystą.Możemyzatemprzyjąć,
żem“2k,gdziekPZ.Tymsamym4k2“2l2,cozkoleioznacza,żel2,
awięcil,jestliczbąparzystą.Dochodzimydowniosku,żeliczbymil,ja-
koparzyste,mająwspólnypodzielnik,wbrewzałożeniu.Wkonsekwencji
liczba?2jestniewymierna.
Podobniemożnapokazać,żeliczbalog23jestniewymierna(przekonaj
się!).
14.Potęgailogarytm
Zpojęciempotęgiilogarytmuspotykamysięjużwtrakcienaukiszkol-
nej.Jakwiemy,pierwiastkiarytmetycznesądefiniowanejakopotęgi.Pier-
wiastkiemarytmetycznymstopnianliczbyaěo,oznaczanymprzezn
?a,
nazywasięliczbębPR,dlaktórejbn“a.Istnienieijednoznacznośćliczby
bwynikazaksjomatuciągłościzbioruR(dowódpomijamy).Jeślizałoży-
my,żeliczbanjestnieparzysta,tooliczbieaniemusimyzakładać,iżjest
nieujemna.Ponadtodlan“
p
q
PQorazaąoprzyjmujemya
p
q
“q
?ap.
ZaksjomatuciągłościzbioruRwynikarównież,żemożemyokreślić
potęgęliczbydlawykładnikapotęgibędącegoliczbąniewymierną.
Załóżmy,żeaąoirRQ.
(1)Jeślia“1,toprzyjmujemyar“1.
1JohannHeinrichLambert(1728-1777)-niemieckimatematyk,fizyk,astronom
ifilozof.
