Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Zbioryirelacje
9
Właśnietymjestusprawiedliwionybraknawiasóww(1.1)i(1.2).Zachodzą
takżeprawarozdzielności:
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C),
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC).
Wyliczmyjeszczekilkałatwychdoudowodnieniatwierdzeń:
A⊂AUB,
AU∅=A,
AUA=A,
A∩B⊂A,
A∩∅=∅,
A∩A=A.
JeśliA⊂B,toAUB=BiA∩B=A.
RóżnicązbiorówAiBnazywamyzbiórtychelementówzezbioruA,
którenienależądozbioruB.OznaczamyjąsymbolemA\B.Jeślirozważane
zbiorysąpodzbioramizbioruX,toróżnicęX\Anazywamydopełnieniem
zbioruAioznaczamyjąprzezAc.Zauważmy,żeAcc=(Ac)c=A.
Twierdzenie1.1(prawadeMorgana).Dladowolnejrodziny{At:t∈
∈T}podzbiorówzbioruXzachodząnastępującerówności:
(U
(Π
t∈T
t∈T
At)
At)
c
c
=Π
=U
t∈T
t∈T
Ac
Ac
t,
t.
Dowód.Jeślix∈(U
t∈T
At)
c
,tox/∈U
t∈T
At.Zatemx/∈Atdlakażdego
t∈T,czylix∈Ac
tdlawszystkicht∈T.
Naodwrót,jeślidlakażdegot∈T,x∈Ac
t,tooznacza,żex/∈Atdla
c
wszystkicht.Zatemx/∈U
t∈T
At,czylix∈(U
t∈T
At)
.
Abyudowodnićdrugąrówność,weźmydopełnieniapoobustronachrów-
ności
(U
t∈T
Ac
t)
c
=Π
t∈T
Acc
t.
Wtedy
(U
t∈T
Ac
t)
cc
=(Π
t∈T
At)
c
,
