Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
czyli
t∈T
U
Ac
t=(Π
t∈T
At)
c
.
Ważnysposóbtworzenianowychzbiorówzdanych,stanowioperacja
iloczynukartezjańskiego,zwanarównieżproduktemzbiorów.Abyjązdefi-
niować,potrzebujemypojęciaparyuporządkowanej.Mającdowolneprzed-
miotyaib,możemyznichutworzyćparęuporządkowanąopoprzedniku
ainastępnikub,którąbędziemyoznaczaćsymbolem(a,b).Paręuporząd-
kowaną(a,b)uważamyzaróżnąodparyuporządkowanej(b,a),jeślitylko
a/=b.Ogólnie,paryuporządkowane(a,b)i(c,d)uważamyzarównewtedy
itylkowtedy,gdymająrównepoprzednikiirównenastępniki,czyligdy
a=cib=d.
Definicjęparyuporządkowanejmożnasformalizowaćwnastępującyspo-
sób:parauporządkowana(a,b)jestzbiorem{a,{a,b}}.
Produktemkartezjańskim(iloczynemkartezjańskim)zbiorówAiBna-
zywamyzbiórwszystkichparuporządkowanych(a,b)takich,żea∈Ai
b∈B.OznaczamygoprzezA×B.Naprzykład,płaszczyznęmożemy
traktowaćjakoproduktkartezjańskidwóchprostych.Definicjetewnatu-
ralnysposóbprzenosząsięnadowolnąskończonąliczbęelementów.Zatem,
produktemkartezjańskimzbiorówA1,...,Annazywamyzbiórwszystkich
układówuporządkowanychn-elementowych(a1,...,an)takich,żeak∈Ak
n
dlak=1,2,...,nioznaczamygosymbolemA1×A2×...×Anlub
Π
Ak.
k=1
ProduktA×A×...×A
\
~,
/
oznaczamyprzezAk.
krazy
Definicja1.1.RelacjąpomiędzyelementamizbiorówXiYnazywamy
dowolnyzbiórparuporządkowanych(x,y),gdziex∈Xiy∈Y.Jeśli
Rjestrelacją,tozbiórpoprzednikówparuporządkowanychtworzącychR
nazywamydziedzinąrelacjiR,azbiórnastępnikówtychpar—zbiorem
wartościrelacjiR.ZatemrelacjęRmożnainterpretowaćjakopodzbiór
produktukartezjańskiegoX×Y.JeśliX⊂X′iY⊂Y′,tooczywiście
R⊂X×Y⊂X′×Y′.Dlategoteżjednaitasamarelacjamożebyć
podzbioremróżnychzbiorów.
Zamiastpisać(x,y)∈R,częstopiszesięxRyiczyta,żexjestwrelacji
Rzy.JeśliR⊂X2,tomówimy,żerelacjaRjestokreślonawzbiorzeX.
RelacjęRokreślonąwzbiorzeXnazywamyrelacjąrównoważności,jeśli
posiadaonanastępującewłasności:
(Z)dlakażdegoelementux∈X:xRx—zwrotność;
