Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Zbioryirelacje
11
(S)dladowolnychelementówx,y∈X:jeślixRy,toyRx—symetria;
(P)dladowolnychelementówx,y,z∈X:jeślixRyiyRz,toxRz
—przechodniość.
Relacjeteodgrywająbardzoważnąrolęwmatematyce.
JeśliRjestrelacjąrównoważnościwzbiorzeXorazy∈X,tozbiór
[y]={x∈X:yRx}nazywamyklasąabstrakcji(warstwą)elementuy
względemrelacjiR.ZbiórwszystkichklasabstrakcjirelacjiRbędziemy
oznaczaćsymbolemX/R.
KlasyabstrakcjirelacjiRmająnastępującewłasności:
(1)x∈[x];
(2)x1Rx2wtedyitylkowtedy,gdy[x1]=[x2];
(3)jeślix1Rx2niezachodzi,toklasy[x1]i[x2]sąrozłączne.
Uwaga.Sformułowanepowyżejwarunkinależyrozumiećwtensposób,że
musząonezachodzićdlawszystkichelementówx,x1,x2zezbioruX.Uma-
wiamysię,żewdalszymciągubędziemystosowalitękonwencję,tzn.jeśli
wjakimśwyrażeniuzmiennalubzmienneniesąpoprzedzonesłowamidla
każdego(dowolnego)lubdlapewnego(istniejetakie),tonależytowyrażenie
czytaćwtensposób,jakbykażdazezmiennychbyłapoprzedzonasłowami
dlakażdego.
Warunek(1)jestspełniony,ponieważdlakażdegox∈X,xRx,na
mocyzwrotnościrelacjiR.
Załóżmy,żex1Rx2.Jeślix∈[x1],tozdefinicjiklasyabstrakcjiwynika,
żex1Rx.ZsymetriirelacjiRotrzymujemy,żexRx1,aponadtox1Rx2na
mocyzałożenia.Przechodniośćimplikuje,żexRx2,czylix2Rx,coozna-
cza,żex∈[x2].Pokazaliśmywięc,że[x1]⊂[x2].Analogicznieudowadnia
się,że[x2]⊂[x1].Zatemwykazaliśmy,żewarunekx1Rx2pociągazaso-
bąwarunek[x1]=[x2].Jeślinatomiast[x1]=[x2],toz(1)wynika,że
x1∈[x2],czylix2Rx1,awięcrównieżx1Rx2.Tooznacza,żewłasność(2)
jestprawdziwa.
Abyudowodnić(3),załóżmy,żex∈[x1]ix∈[x2].Zatemx1Rxi
x2Rx.Czylix1RxixRx2.Stądx1Rx2,cokończydowód.
Zwarunków(1),(2)i(3)wynikanastępującetwierdzenie:
Twierdzenie1.2(zasadaabstrakcji).RelacjarównoważnościRokre-
ślonawzbiorzeXustalapodziałtegozbiorunarozłączneniepustepodzbiory
(mianowicienaklasyabstrakcjitejrelacji)takie,żedwaelementyx,yzbioru
Xnależądotejsamejklasywtedyitylkowtedy,gdyxRy.
