Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Funkcje
13
(obrazemelementuxpoprzezfunkcjęf).Stosujemyoznaczeniey=f(x)
lubx→y=f(x).Zbiór
f(X)={y∈Y:y=f(x)dlapewnegox∈X}
wszystkichwartościfunkcjinaelementachzbioruXnazywamyzbiorem
wartościfunkcjif.Zamiastmówićfunkcjaużywasięrównieżbardzowielu
innychterminów,tj.odwzorowanie,funkcjonał,operator,przekształcenie,
morfizm,itp.
Zauważmy,żedefinicjafunkcjiwymagaokreśleniatrójki(X,f,Y):
•X—dziedzinafunkcji,
•f—prawo(„przepis”),którykażdemux∈Xprzyporządkowuje(do-
kładniejeden)elementy∈Y,
•Y—zbiór,wktórymznajdująsięwartościfunkcji.
Jestistotne,przydefiniowaniufunkcji,ścisłepodaniezbioruX,któryjest
jejdziedzinąizbioruY,doktóregonależąjejwartości.Tensamwzórmoże
określaćróżnefunkcje,np.jeśliXoznaczazbiórliczbnaturalnych,aYzbiór
liczbparzystych,tofunkcje(X,f,Y)i(X,f,X),gdzief(n)=2n,sąróżne.
Jeślif:X→YiA⊂X,tosymbolemf|Abędziemyoznaczaćfunkcję
(A,f,Y),czylitaką,któranazbiorzeAjestokreślonadokładnietymsa-
mymwzoremjakimbyłaokreślonafunkcja(X,f,Y).Będziemyjąnazywać
obcięciemlubzawężeniemfunkcjifdozbioruA.
Wtrakcienaukiwszkolewystąpiłoszeregróżnychfunkcji,np.funk-
cjetrygonometryczne,funkcjapotęgowa,wykładnicza,logarytmiczna,pier-
wiastek,itp.Wdalszymciągubędziemyrównieżzajmowaćsięfunkcjami,
dlategopoprzestaniemynawspomnieniutychdobrzeznanychprzykładów.
Definicja1.3.ObrazemzbioruA⊂Xpoprzezodwzorowanief:X→Y
nazywamyzbiórtychelementówzezbioruY,któresąobrazamielemen-
tównależącychdozbioruA.ObrazzbioruApoprzezfunkcjęfbędziemy
oznaczaćsymbolemf(A).Zatem
f(A)={y∈Y:y=f(x)dlapewnegox∈A}.
Natomiast,jeśliBjestpodzbioremzbioruY,tozbiórtychelementów
zbioruX,którychobrazynależądozbioruB,nazywamyprzeciwobrazem
zbioruBpoprzezfunkcjęfioznaczamysymbolemf-1(B).Takwięc
f-1(B)={x∈X:f(x)∈B}.
