Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Funkcje
15
•bijekcją(bijektywne),jeślijestonojednocześniesuriekcjąiiniekcją.
Jeśliodwzorowanief:X→Yjestbijekcją,townaturalnysposóbokre-
ślonejestodwzorowanief-1:Y→Xwzorem:
jeśliy=f(x),tox=f-1(y),
tzn.elementowiy∈Yprzyporządkowujesiętenelementx∈X,którego
obrazemprzyodwzorowaniufjesty.Namocysuriektywnościfunkcjiftaki
elementx∈Xistnieje,aziniektywnościwynika,żejestontylkojeden.
Zatemodwzorowanief-1jestpoprawnieokreślone.Nazywamyjefunkcją
odwrotnądofunkcjif.Zkonstrukcjiodwzorowaniaodwrotnegowidać,że
f-1:Y→Xjestrównieżbijekcjąi,żeodwzorowaniedoniegoodwrotne
(f-1)-1:X→Ypokrywasięzf:X→Y.Wtensposóbwłasnośćdwóch
odwzorowańbyciaodwrotnymjestwzajemna,tzn.jeślifunkcjaf-1jest
odwrotnadofunkcjif,tozkoleifjestodwzorowaniemodwrotnymdo
f-1.Zauważmy,żesymbolef-1(B)przeciwobrazuzbioruB⊂Yifunkcji
odwrotnejf-1sąidentyczne.Zawszezkontekstuwynikaojakieznaczenie
tegosymboluwdanymwypadkuchodzi.Jednakżenależymiećnauwa-
dzeto,żeprzeciwobrazzbiorujestokreślonydladowolnegoodwzorowania
f:X→Y,nawetjeśliniejestonobijektywne,awięcwtedy,gdyf-1nie
istnieje.Wprzypadku,gdyfunkcjafjestbijekcjąf-1(B)możeoznaczać
zarównoprzeciwobrazzbioruBpoprzezfunkcjęf,jakiobraztegozbioru
poprzezf-1,gdyżwówczasobatezbiorysiępokrywają.
Bogatymźródłemotrzymywanianowychfunkcjizjednejstronyispo-
sobemrozkładufunkcjizłożonychnaprostszezdrugiej,jestoperacjaskła-
daniaodwzorowań.
Jeśliodwzorowaniaf:X→Yig:Y→Zsątakie,żejednoznichjest
określonenazbiorzewartościdrugiego,tomożnazbudowaćnowąfunkcję
g◦f:X→Z,
którejwartościnaelementachzbioruXokreślonesąwzorem
(g◦f)(x)=g(f(x)).
Skonstruowanąfunkcjęg◦fnazywamyzłożeniem(superpozycją)odwzoro-
wańfig.
Operacjęskładaniaodwzorowańczasamitrzebawykonywaćkilkarazy
podrząd,dlategopożytecznymjestzauważyć,żejestonałączna.
