Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
Lemat1.5.JeśliX
→Y
f
→Z
g
→W,toh◦(g◦f)=(h◦g)◦f.
h
Dowód.
(h◦(g◦f))(x)=h((g◦f)(x))=h(g(f(x)))=
=(h◦g)(f(x))=((h◦g)◦f)(x).
Stądwynika,żemożemyopuszczaćnawiasywskazująceporządekskła-
dania.Zauważmytakże,żenawetgdyobazłożeniaf◦gig◦fsąokreślone,
tonaogółf◦g/=g◦f.Naprzykład,jeślif(x)=2xig(x)=x2,to
(f◦g)(x)=2x2,podczasgdy(g◦f)(x)=4x2.
Odwzorowaniex→x:X→XbędziemyoznaczaćprzezidXinazywać
odwzorowaniemtożsamościowymzbioruX.
Lemat1.6.Jeślidlaodwzorowańf:X→Yig:Y→Xzachodzirówność
g◦f=idX,togjestsuriekcjąafjestiniekcją.
Dowód.Mamy
X=idX(X)=(g◦f)(X)=g(f(X))⊂g(Y),
cooznacza,żegjestodwzorowaniemsuriektywnym.
Dalej,jeślif(x1)=f(x2),to(g◦f)(x1)=(g◦f)(x2)izkoleiidX(x1)=
=idX(x2),czylix1=x2,awięcfunkcjafjestiniekcją.
Poprzezoperacjęskładaniaodwzorowańmożnaopisaćfunkcjewzajem-
niejednoznaczne.
Wniosek1.7.Odwzorowaniaf:X→Yig:Y→Xsąwzajemnieodwrot-
nymibijekcjamiwtedyitylkowtedy,gdyg◦f=idXif◦g=idY.
Dowód.Namocylematujednoczesnewypełnieniewarunkówg◦f=idX
if◦g=idYgwarantujesuriektywnośćiiniektywność,tzn.bijektywność
każdegozodwzorowańfig.Warunkitepokazująrównież,żey=f(x)
wtedyitylkowtedy,gdyx=g(y).
Naodwrót,jeślipowyższedwierównościsąrównoważne,to(g◦f)(x)=
=g(y)=x,czylig◦f=idXoraz(f◦g)(y)=f(x)=y,awięcf◦g=idY.
Twierdzenie1.8.Złożeniesuriekcjijestsuriekcją,złożenieiniekcjijest
iniekcją,azatemzłożeniebijekcjijestbijekcją.
Dowód.JeśliX
→Y
f
→Z,to(g◦f)(X)=g(f(X))=g(Y)=Z.
g
Ponadto,jeśli(g◦f)(x1)=(g◦f)(x2),tog(f(x1))=g(f(x2)).Stądf(x1)=
=f(x2),awięcx1=x2.
