Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
(1)x+y=y+x—przemiennośćdodawania;
(2)(x+y)+z=x+(y+z)—łącznośćdodawania;
(3)istniejewRelementoznaczanyprzez0(zero)taki,żex+0=xdla
wszystkichx∈R;
(4)dlakażdegox∈Ristniejeelementy∈Rzwanyprzeciwnymdoelemen-
tuxtaki,żex+y=0.
Zaksjomatułącznościwynika,żewyrażeniex+y+zjestokreślonejed-
noznacznie.Ponadto,możnałatwopokazać,żeistniejetylkojedenelement
neutralny(zero)dladziałaniadodawaniaoraz,żekażdyelementxposiada
tylkojedenelementprzeciwny,któryoznaczamysymbolem−x.
(II)Aksjomatymnożenia
Określonejestodwzorowanie(zwanemnożeniem)·:R×R→Rprzyporząd-
kowującekażdejparze(x,y)∈R×Relementx·y(krócejoznaczanyjako
xy)zwanyiloczynemelementówxiy,którespełnianastępującewarunki:
(5)xy=yx—przemiennośćmnożenia;
(6)(xy)z=x(yz)—łącznośćmnożenia;
(7)istniejewRelementróżnyodzera,oznaczanyprzez1(jedynka)taki,
żex·1=xdlawszystkichx∈R;
(8)dladowolnegox/=0istniejewzbiorzeRelementu,zwanyodwrotnością
xtaki,żeux=1;
(9)x(y+z)=xy+xz—rozdzielnośćmnożeniawzględemdodawania.
Podobniejakwprzypadkudodawaniaaksjomatłącznościimplikuje,że
wyrażeniexyzmasens.Równieżłatwoudowadniasię,żeistniejetylkojeden
elementneutralny(jedynka)dlamnożeniaoraz,żekażdyróżnyodzeraele-
mentxposiadatylkojednąodwrotność,którąoznaczamyprzez
x
1
.Ostatni
aksjomatwiążeoperacjęmnożeniazdodawaniem.Zbiórobiektówspełniają-
cychaksjomatyI(1–4)iII(5–9)nazywamyciałemliczbowymlubpoprostu
ciałem.
(III)Aksjomatyuporządkowania
MiędzyelementamizbioruRokreślonajestrelacja<zwanarelacjąmniej-
szości(x<yczytamyxjestmniejszelubrówney),któramanastępujące
własności:
(10)x<x—zwrotność;
