Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
PrzykładamizbiorówindukcyjnychsązbioryliczbrzeczywistychR,liczb
rzeczywistychnieujemnych,tzn.takichx,dlaktórychx>0.Zbiórten
będziemywdalszymciąguoznaczaćprzezR+.Zauważmy,żeprzekrójX=
=Π
XadowolnejrodzinyzbiorówindukcyjnychXa,jeślijestniepusty,jest
a
zbioremindukcyjnym.Zatemmożemyprzyjąćnastępującądefinicję:
Definicja1.8.Zbioremliczbnaturalnychnazywamynajmniejszyzbiórin-
dukcyjnyzawierającyliczbę1,tzn.przekrójwszystkichzbiorówindukcyj-
nychzawierającychliczbę1.Zbiórliczbnaturalnychoznaczamysymbolem
N,jegoelementynazywamyliczbaminaturalnymi.
Następującafundamentalnazasadajestbezpośrednimwnioskiemzde-
finicjiliczbnaturalnych.
Twierdzenie1.9(zasadaindukcjizupełnej).JeślipodzbiórAzbioru
liczbnaturalnychNjesttaki,że1∈Aiwrazzkażdąliczbąx∈Azawiera
takżex+1,toA=N.
całkowitymi.ZbiórliczbcałkowitychoznaczamyliterąZ.Ułamki
Liczbynaturalne,liczbydonichprzeciwneizeronazywamyliczbami
m
n
,gdzie
m,nsąliczbamicałkowitymiin/=0,nazywamyliczbamiwymiernymi.
ZbiórtenoznaczamyprzezQ.Wszystkieinneliczbyrzeczywistenazywamy
liczbaminiewymiernymi.Prawdziwesąnastępująceinkluzje:
N⊂Z⊂Q⊂R.
Dladowolnejliczbyrzeczywistejxdefiniujemy
xn=x·x·x·...·x
\
nrazy
~,
/
dlan=1,2,...
Wyrażeniexnnazywamyn-tąpotęgąliczbyx,liczbę—nwykładnikiem
potęgi,ax—podstawąpotęgi.
Dlakażdegox/=0oznaczamy
x1=x,
x-n=
xn
1
dlan=1,2,...
Zauważmy,żejeślin,msąliczbamicałkowitymi,toprawdziwesąwzory
xo=1,
xn+m=xnxm,
(xn)m=xnm.
Poprzedniopodaliśmydefinicjęzbioruograniczonegozgóry.Obecnie
rozważymypojęciezbioruograniczonegozdołu.NiepustyzbiórA⊂Rna-
zywamyograniczonymzdołu,jeśliistniejeelementz∈Rtaki,żez<x
