Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
Rozdział1.Elementyteoriizbiorów
Rozważamyrównieżprzedziałypółotwarte(półdomknięte)
(a,b]={x:a<x<b}
[a,b)={x:a<x<b}.
Liczbęb−anazywamydługościąkażdegozpowyżejzdefiniowanychprze-
działówokońcachaib.Abyujednolicićterminologięoznaczamy
[a,a]={x:a<x<a}={a}.
Terazwykażemyistnienieijednoznacznośćn-tegopierwiastkazliczby
dodatniej.
Twierdzenie1.12.Dlakażdejliczbyrzeczywistejx>0idowolnejliczby
naturalnejnistniejedokładniejednaliczbay>0taka,żeyn=x.
Liczbayztwierdzeniajestoznaczanaprzezn
√xinazywanan-tympier-
wiastkiemzliczbyx.
Dowód.NiechE={t>0:tn<x}.Jeślit=
1+x
x
,to0<t<1.Stąd
tn<t<x,czylit∈E.Zauważmy,żejeślit>1+x,totn>t>x,
cooznacza,żet/∈E.Zatemjeślit∈E,tot<1+x.ZbiórEjako
niepustyiograniczonyzgórypodzbiórzbioruliczbrzeczywistychmakres
górny.Niechy=supE.Pokażemy,żekażdaznierównościyn<xiyn>x
prowadzidosprzeczności.Wówczaszaksjomatuspójnościotrzymamy,że
yn=x.
Ztożsamościbn−an=(b−a)(bn-1+bn-2a+...+an-1)wynika,że
dla0<a<bprawdziwajestnastępującanierówność:
(1.3)
bn−an<(b−a)nbn-1.
Niechyn<xiniech0<h<min{1,
n(y+1)n-1}.Podstawiając
x−yn
a=yib=y+hdo(1.3)otrzymujemy
(y+h)n−yn<hn(y+h)n-1<hn(y+1)n-1<x−yn
iwkonsekwencji(y+h)n<x,czyliy+h∈E.Jesttoniemożliwe,bo
y+h>y=supE.
Załóżmy,żeyn>x.Niechk=
yn−x
nyn-1
.Wówczas0<k<y.Jeśli
t>y−k,tobiorąca=y−kib=yw(1.3)otrzymujemy
yn−tn<yn−(y−k)n<knyn-1=yn−x.
