Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Aksjomatycznateorialiczbrzeczywistych
23
Stądtn>x,cooznacza,żet/∈E.Zatem,jeślit∈E,tot<y−k,czyliy−k
jestograniczeniemgórnymzbioruEmniejszymody.Znówotrzymaliśmy
sprzecznośćzdefinicjąkresugórnego.Zatemyn=x.
Jednoznacznośćpierwiastkawynikaztego,żenierówność0<y1<y2
implikujeyn
1<yn
2.
Jeślixiysąliczbamidodatnimi,to
xy=n
n
xn
y.
Istotnie,niechĘ=n
√x,η=n
√yiτ=n
√xy.MamywówczasĘn=x,ηn=y
iτn=xy.Zatem(Ęη)n=Ęnηn=xy.StądĘη=n
√xy=τ.
Wtakisamsposóbpokazujesię,żedlax>0in,m∈Nmamy
m
n
√x=nm
√x,
(m
√x)
n=m
√xn.
Zatem,jeślix>0ir=
m
n
(m/=0)jestliczbąwymierną,tookreślamy
xr=m
√xn.
Zprzytoczonychtuwłasnościpierwiastkawynikanastępującetwierdzenie:
Twierdzenie1.13.Jeślix>0ip,qsąliczbamiwymiernymi,to
xp+q=xpxq.
Jeślip,qsąliczbamiwymiernymi,takimiżep<q,to
xp<xq
dla
x>1,
xp>xq
dla
0<x<1.
Terazudowodnimynastępującetwierdzenie:
Twierdzenie1.14(zasadaArchimedesa).Jeślix>0iyjestdowolną
liczbąrzeczywistą,toistniejeliczbacałkowitantaka,że(n−1)x<y<nx.
Dowód.Przypuśćmy,żenierównośćpx<yjestspełnionadlawszystkich
liczbcałkowitych.Tooznacza,żezbiórA={px:p∈Z}jestograniczonyz
góryprzezliczbęy.Namocyaksjomatukresugórnegoistniejekresgórny
zbioruA,Ę=supA.PonieważliczbaĘ−x<Ęniejestograniczeniem
górnymzbioruA,więcistniejeliczbacałkowitaptaka,żepx>Ę−x.Stąd
(p+1)x>Ę,awięcĘniejestograniczeniemgórnymzbioruA.Otrzy-
maliśmysprzeczność.Zatemistniejeliczbacałkowitaptaka,żepx>y.
