Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Aksjomatycznateorialiczbrzeczywistych
19
(11)jeślix<yiy<x,tox=y—słabaasymetria;
(12)jeślix<yiy<z,tox<z—przechodniość;
(13)x<yluby<x—spójność;
(14)jeślix<y,tox+z<y+z;
(15)jeśli0<xi0<y,to0<xy.
Relacjax<yjestrównieżoznaczanaprzezy>x.Zapisx<ynazy-
wamynierównością.Relacjax<ydlax/=yjestoznaczanaprzezx<y
(xjestmniejszeody)luby>x.Zapisx<ynazywamynierównością
ostrą.Liczbyspełniającenierównośćx>0nazywamyliczbamidodatnimi,
aliczby,dlaktórychzachodzinierównośćx<0—ujemnymi.Odpowiednio,
jeślix>0,toxjestliczbąnieujemną,natomiastgdyx<0,toxjestliczbą
niedodatnią.
Zbiór,wktórymokreślonajestrelacjaspełniającawarunki(10),(11)
i(12),nazywamyzbioremczęściowouporządkowanym,ajeślioprócztego
spełnionyjestaksjomat(13),tozbiórtennazywamyliniowouporządkowa-
nym.Zatemzbiórliczbrzeczywistychjestliniowouporządkowanypoprzez
relacjęmniejszościpomiędzyjegoelementami.
ZbiórA⊂Rjestograniczonyzgóry,jeśliistniejeelementz∈Rtaki,że
x<zdlawszystkichx∈A.Każdaliczbazposiadającapowyższąwłasność
nazywasięograniczeniemgórnymzbioruA.Ograniczeniegórnezozbioru
Anazywamykresemgórnymtegozbioru,jeślikażdeograniczeniegórnez
zbioruAjestwiększelubrównezo.KresgórnyzbioruAoznaczamyprzez
supA.
(IV)Aksjomatkresugórnego
(16)NiepustypodzbiórA⊂Rograniczonyzgórymakresgórny.
Możnapokazać,żezbiórliczbrzeczywistych„istnieje”ijestwpewnym
sensie„tylkojeden”.Niebędziemysiętymzajmowaćwtrakcietegowykładu.
Przejdziemydoudowodnienianiektórychfaktówbędącychkonsekwencjami
podanychtuaksjomatów.Wszystkierozpatrywanewkursiematematyki
szkołyśredniejwłasnościzbioruliczbrzeczywistychmożnabeztruduznich
wyprowadzić.Ograniczymysięwięcdomniejznanychwłasności,którebędą
miałyistotneznaczeniewdalszymciągunaszychrozważań.
Definicja1.7.NiepustyzbiórX⊂Rnazywasięzbioremindukcyjnym,
jeśliwrazzkażdymelementemx∈Xnależydoniegotakżex+1.
