Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Elementylogikiformalnejiteoriimnogości
n-najmniejszaliczba,którejniedasięopisaćwjęzykupolskimprzypomocy
mniejniżtysiącaliterl
Pytaniebrzmi:czytakaliczbaistnieje?Odpowiedź-nie,ponieważzdefiniowaliśmy
nprzypomocymniejniżtysiącaliterlWniosek:określenieliczbynjestwewnętrznie
sprzeczne(jestrównieżantynomiąsemantyczną)lTujednakłatwiejzauważyćpro-
blemlJestnimbowiempróbadefinicjiliczbynaturalnejpozaarytmetykąliczbna-
turalnych,tznlniewjęzykuarytmetyki,alewjęzykuopisującymarytmetykę,czyli
metajęzykulWrócimydotejkwestii,omawiającpoziomyjęzykal
WpierwszejćwierciXXwlosiągniętezostajedalekoidącezrozumieniekonstruk-
cjimatematykilKolejnedziałymatematykizostająsprowadzonedoarytmetyki,tazaś
-doteoriimnogościlRozmaitedziedzinymatematyczneotrzymująadekwatnyze-
spółaksjomatówlPanujeprzekonanie,żezbudowanewtensposóbteoriesą:(1)nie-
sprzecznei(2)zupełnelOznaczato,że:
1lNiemożnawnichudowodnićrównocześniepewnegozdaniaijegozaprzeczenia;
2lOkażdymzdaniumożnapowiedzieć,czyjestprawdziwe,czyteżniel
PrzekonanietoobaliłGödel,dowodzącwroku1931,żeżadensystemmatema-
tycznyzawierającyarytmetykęliczbnaturalnychniejestzupełny,tznlistniejąwnim
zdania,którychprawdziwościanifałszywościniejesteśmywstaniedowieśćlDotego
niemożnadowieśćniesprzecznościarytmetyki,korzystającwyłączniezjejaksjoma-
tówiregułwnioskowanialTakwięcmetodzieformalno-logicznejpostawionezostały
nieprzekraczalnegranice;zewzględunaichpodobieństwodoroliprędkościświatła
wfizycepraceGödlaporównujesiędoosiągnięćEinsteinal
Wynikiteprzeniosłyzainteresowanialogikówzbadaniazupełnościiniesprzecz-
nościsystemównadwawęższeobszarylJednymznichjestbadanielogicznychme-
todkonstrukcjipojęćmatematycznych,drugimzaś-badanieświatów(tzwlmodeli)
opisywanychprzezteoriematematycznelParadoksalnywydajesięfakt,żeteoriemają
wielemodeli,nplprzedstawionadalejaksjomatykaPeanoopisujenzwykłą”arytme-
tykę,aletakżewieleinnych-znaszegopunktuwidzeniadziwnychlTujednakpo-
stawimykropkę,gdyżopisobszarówzainteresowaniawspółczesnejlogikiwykracza
dalecepozazakrestegoopracowanial
Wspominająchistorięlogiki,należyjednakjeszczedodaćdwieszerszedygresjel
PierwszaznichdotyczywkładuPolakówwrozwójlogikiipodstawmatematykilOile
dokońcaXIXwlwkładtenbyłznikomy,otylesytuacjazmieniłasięnapoczątkuXXwl
Zaczęłosięodkrakowskiejszkołylogiczno-filozoficznejKazimierzaTwardowskiego,
skierowanejgłówniekubadaniomfilozoficznymlJednakdopierwszychuczniówtwór-
cyszkołynależeliLeśniewskiiŁukasiewicz,którzypozakończeniuIwojnyŚwiatowej
znaleźlisięwWarszawieinawiązaliwspółpracęzJaniszewskim;tenostatnibyłau-
toremkoncepcjibudowywPolscesilnejszkołymatematycznej,skoncentrowanejna
tematycelogiki,teoriimnogościitopologiilSamwprawdziewkrótcezmarł,alejego
ideezaowocowałyrozkwitemwymienionychwyżejdziedzinlWystarczywymienić
21